Sujet Progression:

 

Les formules suivantes sont à retenir. Elles sont très utiles dans les démonstrations, le calcul du sinus, cosinus et de la tangente de certain angle à partir de certains angles dont la valeur du cosinus et du sinus sont connues :

Mathplace quicklatex.com-b461986ba53e341d927e5c3c8fdabf11_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente

Mathplace quicklatex.com-95e717d8eaa4823b0da06ec569a85d80_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente

Mathplace quicklatex.com-d4694c96ed112cdd20c866cf42de8540_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente

Mathplace quicklatex.com-1f198e71535766760faa9cfc7de8565d_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente

Si Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente, Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente, Mathplace quicklatex.com-aea3df2e063fe48fb428880774cb2693_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente et Mathplace quicklatex.com-357143e5591f4fd09b786bfc92a20c3b_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente sont différents de Mathplace quicklatex.com-0a8013a2c02ae8d9cf2af988edf2cc9e_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente, Mathplace quicklatex.com-74401536c618188e8ce7bb4f1c6842d0_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente, alors

Mathplace quicklatex.com-e331d0972913d3296bd3bf29b9d3b1a0_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente

Mathplace quicklatex.com-b35f6b1b360178ac1d1ca6416b35ab92_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente

 

Exemple :

1/ Montrer que pour tout nombre réel Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente on a :

Mathplace quicklatex.com-f5450e1d719fb17267302280d16064e9_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente ;

Mathplace quicklatex.com-be6965f218d24ab0f272775b9da3aead_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente ;

Mathplace quicklatex.com-6ff7f92cc88fbe97dcae5f328db364f1_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente

2/ Calculer la valeur exacte du cosinus de Mathplace quicklatex.com-2fd8de2c917f5274b878cfa9e6516d50_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente

 

Solution :

Soit Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente un nombre réel. On a :

Mathplace quicklatex.com-6df45e06315af5e95aad9cb5dff904a2_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-87090bb08290c48c522539d40757fa5e_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-f59b8a3459c669694ae453fbbcbd013f_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-63d2436b47265f71a36aec8e195c0621_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-448021ecd63e8ab834edddb34137414e_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente

Mathplace quicklatex.com-4072b55c53b43eb8f6c86a000a6c24d2_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-6aaca4cc159ac548b6a4869250c9aaac_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-bfaf6897cb279bcdcb61c2f05146385b_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-9595d21f31bc37c6ba6671cb43f3db51_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente

Mathplace quicklatex.com-e3a447f6a086df6fb0928d4c62b86259_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-c50f644406296be2568cdc6f649535a0_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-bebffef97e792dc002b8c0733af5f2c1_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-030f6f816d45eb4587c904a1629dcad8_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente

2/ Calculons la valeur exacte de Mathplace quicklatex.com-18660fe951f59f648e8ef680f086eee4_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente.

Mathplace quicklatex.com-db99a4da46451c6933234309ccb66947_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente

Et Mathplace quicklatex.com-cad54912bb71ef8edab06a73d4db4706_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente.

Comme Mathplace quicklatex.com-2630edbeebcb932a43f109de963d07fe_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente, on tire la relation : Mathplace quicklatex.com-022db4ff2d6b888cddea65840830a4d7_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente.

Ainsi,

Mathplace quicklatex.com-ba03220484e0491edccad618332b7a4c_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-ce855674b9ee5acc70484e3a85c99cd7_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-2dbaf636209de207ffd99034345b4595_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-5d9b4ed73e9c19244c106dce73774bdb_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente.

Il vient que :

Mathplace quicklatex.com-18660fe951f59f648e8ef680f086eee4_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-9943aca4a1bbd28412c3dbd33eda3e24_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente = Mathplace quicklatex.com-f6cb92b98cf6c006a1d900c5856fd640_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente ( car l’angle Mathplace quicklatex.com-2fd8de2c917f5274b878cfa9e6516d50_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente étant entre Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente et Mathplace quicklatex.com-19e93d1e12a57d6588c13d8ed7ebda5e_l3 Méthode 4 : Propriétés du cosinus, du sinus et de la tangente a un cosinus positif)

 

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