Comment écrire sans radical au dénominateur ?

En mathématiques, les fractions avec des racines carrées au dénominateur peuvent sembler intimidantes. Pourtant, il existe une technique simple et efficace pour les transformer en expressions plus faciles à manipuler. Cette méthode, appelée "rationalisation du dénominateur", est essentielle en 3ème et en 2nde.

Dans ce guide complet, vous découvrirez :

• Comment identifier un dénominateur à rationaliser
• La méthode pas à pas avec des exemples
• Les erreurs courantes à éviter
• Des exercices pour vous entraîner

Comment rationaliser un dénominateur ? La méthode étape par étape

Tu galères avec les racines carrées au dénominateur ? Pas de panique ! On va voir la méthode infaillible pour les faire disparaître. C'est ce qu'on appelle "rationaliser un dénominateur".

À quoi ça sert de rationaliser un dénominateur ?

C'est plus simple de calculer et comparer des fractions quand il n'y a pas de racine au dénominateur. Par exemple, √2/√3 est moins pratique que √6/3.

La méthode en 3 étapes

1. Repérer le dénominateur avec radical

• Cherche la partie qui est sous la fraction
• Identifie bien où est la racine carrée

2. Trouver le conjugué magique

Le conjugué, c'est la même expression mais avec un signe opposé :

• Si tu as √2, son conjugué est -√2
• Si tu as a + √b, son conjugué est a - √b
• Si tu as a - √b, son conjugué est a + √b

3. Multiplier par ce conjugué

La règle d'or : ce que tu fais au dénominateur, tu dois le faire au numérateur !

Exemple détaillé : pas à pas

Prenons cette fraction : 1/(2 + √3)

1. Le dénominateur est 2 + √3
2. Son conjugué est 2 - √3
3. On multiplie haut et bas par 2 - √3 : 1 × (2 - √3) ─── × ─────── = 2+√3 × (2 - √3)
4. Au dénominateur : (2 + √3)(2 - √3) = 4 - 3 = 1 (c'est l'identité remarquable a² - b²)
5. Au numérateur : 1 × (2 - √3) = 2 - √3
6. Résultat final : 2 - √3

Les erreurs à éviter absolument

1. Ne pas oublier de multiplier aussi le numérateur
2. Ne pas se tromper dans le signe du conjugué
3. Bien développer avec l'identité remarquable

Pour t'entraîner

Essaie de rationaliser ces dénominateurs :

1. 3/√2
2. 2/(1 + √5)

Solutions en commentaires :

1. (3/√2) × (√2/√2) = 3√2/2

2. [2/(1 + √5)] × [(1 - √5)/(1 - √5)]
   = (2 - 2√5)/(1 - 5)
   = (2√5 - 2)/4

Besoin d'aide ?

La clé est de bien identifier le conjugué. Rappelle-toi :

• Pour √a, multiplie par √a/√a
• Pour a + √b, multiplie par (a - √b)/(a - √b)

La rationalisation du dénominateur est une compétence clé en mathématiques. Elle vous servira non seulement pour vos examens, mais aussi dans des domaines plus avancés comme les limites en Terminale.

Rappel des points essentiels :

• Identifiez bien le dénominateur
• Trouvez son conjugué
• Multipliez haut et bas par ce conjugué
• Vérifiez que le dénominateur n'a plus de radical

Avec de la pratique, cette technique deviendra un réflexe. N'hésitez pas à refaire les exercices jusqu'à être parfaitement à l'aise !

Prêt à vous entraîner davantage ? Consultez nos autres articles sur les radicaux et les fractions !