Sujet Progression:

1/ Déterminer la dérivée des fonctions classiques et élémentaires

Pour déterminer la dérivée des fonctions classiques et élémentaires, vous devez impérativement retenir les résultats suivants :

 

Fonctions Commentaires Fonctions dérivées
Fonction constante

Mathplace quicklatex.com-632be867c107a3702b02a9f2c1517dfb_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-08040cfbe3e3242b8d0456b54f7675c3_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Les fonctions contantes sont définies et dérivables sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    Mathplace quicklatex.com-095e31804b31d75d2b37aed64d6ee9e7_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-16218348b0600fa36b0d955338da67a3_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Fonctions affines

Mathplace quicklatex.com-632be867c107a3702b02a9f2c1517dfb_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-8c11f28e09264b02b1007a7f67c85744_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Les fonctions affines sont définies et dérivables sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    Mathplace quicklatex.com-095e31804b31d75d2b37aed64d6ee9e7_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-f30923ee38fb45894ab98cdffed9e7b7_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Fonction carrée

Mathplace quicklatex.com-632be867c107a3702b02a9f2c1517dfb_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-ab047a4fb56e070bc9801bd09544b24c_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

La fonction carrée est définie et dérivable sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    Mathplace quicklatex.com-095e31804b31d75d2b37aed64d6ee9e7_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-5c910af77672661faa5043bae4128d79_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Fonction puissance de Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    en général (Soit Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    un entier naturel non nul)

Mathplace quicklatex.com-632be867c107a3702b02a9f2c1517dfb_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-3fcac3084fb4f7be74079ad0b9a0065b_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Les fonctions puissances sont définies et dérivables sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    Mathplace quicklatex.com-095e31804b31d75d2b37aed64d6ee9e7_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-8ec29fccfd62fd935cec61c36948fadc_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Fonction inverse

Mathplace quicklatex.com-ad83a45a4362b26747d27df712f88899_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-fdcba97475a6a1347af06f0bea4cea69_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

La fonction inverse est définie et dérivable sur Mathplace quicklatex.com-997598fe0df755555286bfa3bc3195b5_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    Mathplace quicklatex.com-85c149f700f233dd5a31d2c81f7d7370_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-7ca422a060e43483d39386a237e2cd55_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Fonction racine carrée

Mathplace quicklatex.com-98d80d5fc8a80e2d64a1bf28a61e986a_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-dfc1641c9307e3367ce7946e7a4a6da1_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

La fonction racine carrée est définie sur Mathplace quicklatex.com-3f77aca936bd4341e2db5ec453a50404_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    et dérivable sur Mathplace quicklatex.com-7985a0881f66fc24581a1049f6273e7b_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    .

La fonction racine carrée est définie en Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    mais n’est pas dérivable en Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-9cb81a9dd8521b8b5b0b5f0785570ac4_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-157cbb4f6f5b6c8b8e45d4d1529af519_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

 

 

Exemple :

Considérons les fonctions suivantes :

Mathplace quicklatex.com-de3d5558d95b48a24f49ebad161f1869_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    ; Mathplace quicklatex.com-c74218f7cdee46155474f5ccce850a4f_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    et Mathplace quicklatex.com-b02d4c45661c94fec0ae40a77b92ca89_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Déterminer les ensembles de dérivation et les fonctions dérivées des fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    ; Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    et Mathplace quicklatex.com-6f2041efb4958dcd2219e39b02d28aab_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    .

 

L’ensemble de dérivation de la fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    est Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    et Mathplace quicklatex.com-76c917683a6ff7d289ee411a62bad1d1_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    car Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    est une fonction constante.

L’ensemble de dérivation de la fonction Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    est Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    et Mathplace quicklatex.com-2ae5bdf98dff5375997e3a228f4a9ef5_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    car Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    est une fonction affine.

L’ensemble de dérivation de la fonction Mathplace quicklatex.com-6f2041efb4958dcd2219e39b02d28aab_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    est Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    et Mathplace quicklatex.com-1183f0c8dfb5e05f436efdcd373d2e76_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    car Mathplace quicklatex.com-6f2041efb4958dcd2219e39b02d28aab_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    est une fonction puissance.

 

 

2/ Déterminer la dérivée ou la fonction dérivée d’une fonction

Pour déterminer la dérivée ou la fonction dérivée d’une fonction, on se ramène généralement aux formes présentées ci-dessous et on applique la formule pour trouver sa dérivée.

Ici Mathplace quicklatex.com-0e4fc50a68c8f0b8872378196e0c9dd5_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    et Mathplace quicklatex.com-8b2f2429787ee658f1af2f5bfe345fe7_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    sont deux fonctions dérivables sur un intervalle Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    , Mathplace quicklatex.com-5e2d10ed2cfea6b7ca90cc035d64360c_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    une constante réelle et Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    un entier naturel non nul.

 

Fonction Fonction dérivée Contraintes
 

Mathplace quicklatex.com-5fa24453eee2af22a8123a18919a5498_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-2622e450b5d2b86e049cadbde0f3cb2d_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?     

Pas de contraintes

 

Mathplace quicklatex.com-adc40e4147b24bee816fb7d8db59dd9a_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-5171ad11c6fdec67c1cff05c1b6eab69_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    Pas de contraintes
 

Mathplace quicklatex.com-e3620f9817dc00621695179cacc72bdd_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-26b03b15251811ba0b51f5c83bfc2ca1_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    Pas de contraintes
 

Mathplace quicklatex.com-2da94c4a1a9cfc0ae0f410b49b110292_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-1d01c2a4b7788e102e05afe578816895_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    Pas de contraintes
 

Mathplace quicklatex.com-a5aa9c9a24b8f8fabc42e0561c4e93e9_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-b69ff71380ce261e3893751a3ad139d6_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    Mathplace quicklatex.com-45bfc7cedc09bb5c8db58f928cde2d3d_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?
Mathplace quicklatex.com-aa268882b84347582ecfb5b000f1854c_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    Mathplace quicklatex.com-9300213759d2db45ed4176835a65116f_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    Mathplace quicklatex.com-45bfc7cedc09bb5c8db58f928cde2d3d_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?
 

Mathplace quicklatex.com-a0f9f22c8db46d9f6126875e6430f86a_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

 

Mathplace quicklatex.com-baf6f44db351acd733729f8d6ddd58ce_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-267ec1be50fcd3f101029d3b1de6e898_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

 

 

Exemple :

Déterminer les dérivés des fonctions suivantes :

Mathplace quicklatex.com-26917678289bbc4b7b6499036e665cee_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    et Mathplace quicklatex.com-f5adb8a2cc449a33180cffcb70f1c820_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

 

La fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    est la somme de la fonction monôme Mathplace quicklatex.com-50b2ba99966dcf93a3740907e2ef23d1_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    et de la fonction rationnelle Mathplace quicklatex.com-42146c135ee417ee54c2daf1fa0875d3_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    .

L’ensemble de dérivabilité d’une fonction rationnelle étant son ensemble de définition, la fonction Mathplace quicklatex.com-e25ac457c3d2ad211639eb1f49c97221_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    est dérivable sur Mathplace quicklatex.com-1fa1bf60f3c83e7a733348d08c6823b6_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    .

L’ensemble de dérivation de Mathplace quicklatex.com-5e2d10ed2cfea6b7ca90cc035d64360c_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    c’est Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    .

Il vient que, vue que : Mathplace quicklatex.com-13ea1f99d9bab8c52741f68a16d7f45f_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    , que l’ensemble de dérivabilité de f est : Mathplace quicklatex.com-3ec604d3571bb46f4fc5a26b81a333ef_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    = Mathplace quicklatex.com-1fa1bf60f3c83e7a733348d08c6823b6_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    .

 

Et la fonction dérivée est : Mathplace quicklatex.com-248440a55853cf349ac1bf370409a2f2_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Or Mathplace quicklatex.com-8c60ed7b4044cd36c6e054822f13c1aa_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Et Mathplace quicklatex.com-c6ddee15d5321aacb5d41a7293e9bb89_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    = Mathplace quicklatex.com-26cbb2c142501d206788e2142b2958d3_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    = Mathplace quicklatex.com-002cbf811c958621791ea0491a9b6f05_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    = Mathplace quicklatex.com-9ea69ef90862abe50d132220a4b68fbb_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    = Mathplace quicklatex.com-d39856b1487533dd83860a0f46176149_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    = Mathplace quicklatex.com-e6196fd88119036bc034540ca7d6917d_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    .

Il suit donc que Mathplace quicklatex.com-7f6b2c8baa2766e3c478e9ff80495ded_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    .

 

En ce qui concerne la fonction Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    , l’ensemble de dérivation de la fonction Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    est l’intersection de l’ensemble de dérivation de la fonction affine Mathplace quicklatex.com-0b44a29ff6e3caabbf625c91a6205e30_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    qui est Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    et de la fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    qui est Mathplace quicklatex.com-1fa1bf60f3c83e7a733348d08c6823b6_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    car Mathplace quicklatex.com-e34d85df401e3bfaab3dd8249adba92d_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    .

Il suit que l’ensemble de dérivabilité de la fonction Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    est Mathplace quicklatex.com-0eb3550471b8a32c080597a7d6592270_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Et la fonction dérivée est :

Mathplace quicklatex.com-fbdd18cbd62e797d9662dc754b99fa27_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    = Mathplace quicklatex.com-b56c4c36106decca3e6adf3467f38068_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    = Mathplace quicklatex.com-352c6dbedd3e7e7752b1f6f1d47be276_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?     = Mathplace quicklatex.com-240ec7bc9ae03f161f656fa6c2a600cf_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    = Mathplace quicklatex.com-1e755ef52fe378542431638c8ac3f4e7_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    .

 

 

Astuces :

  • L’ensemble de dérivabilité qui constitue l’ensemble de définition de la fonction dérivée doit toujours être précisé avant tout calcul de fonction dérivée

 

  • Ne pas développer certaines formes déjà factorisée car la forme la plus simplifiées d’une dérivée est celle où l’on peut aisément déterminer son signe ce qui est le but du calcul de la dérivée d’une fonction.

 

  • Prenez garde aux confusions dans l’application des formules :

Mathplace quicklatex.com-83c0ee47971e330ba30b032b8c31e4a6_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    et Mathplace quicklatex.com-6da3101f95314ab6ffe567c52d2bc047_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?

Mathplace quicklatex.com-07f88aff755db64925e6c49fea6e457f_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    et Mathplace quicklatex.com-b8976b5a3e06fceb6a9a0846381464db_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    .

 

  • Les fonctions rationnelles ont pour ensemble de dérivabilité leur ensemble de définition

 

  • Une fonction somme ou produit d’autres fonction ont pour ensemble de dérivation l’intersection des ensembles de dérivation des fonction constituant le produit ou la somme.

 

  • L’ensemble de dérivation de la fonction Mathplace quicklatex.com-a0f9f22c8db46d9f6126875e6430f86a_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    c’est l’ensemble de définition de la fonction Mathplace quicklatex.com-a0f9f22c8db46d9f6126875e6430f86a_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    privé des valeurs annulant la fonction Mathplace quicklatex.com-0e4fc50a68c8f0b8872378196e0c9dd5_l3 Méthode 6 : Comment déterminer la fonction dérivée d’une fonction ?    .

 
 
 

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