Pour déterminer le signe d’un polynôme du second degré de la forme Mathplace quicklatex.com-f856438660a2b836b86b1bb9a4ac9758_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  :

 

Etape 1 : On calcule le discriminant Mathplace quicklatex.com-a2dbf0fa2d736803e03667d5cefb54a1_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  de l’expression Mathplace quicklatex.com-f856438660a2b836b86b1bb9a4ac9758_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

 

Etape 2 : Conclusion :

Cas 1 : Si Mathplace quicklatex.com-10341e9e25fbe0175dcca42c581a44f6_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  , Alors l’expression Mathplace quicklatex.com-f856438660a2b836b86b1bb9a4ac9758_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  admet deux racines Mathplace quicklatex.com-e69baa8c70c01f0e6874bbd560b83118_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  et Mathplace quicklatex.com-ea1c9f41d2c67640876270d5dc698b0d_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

Il suit que Mathplace quicklatex.com-477744808fe3298f7025a720dc61fb04_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

En supposant que Mathplace quicklatex.com-74c62dd5e7997dda60eee21a3e047431_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  , le signe de Mathplace quicklatex.com-f856438660a2b836b86b1bb9a4ac9758_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  est résumé dans le tableau suivant :

Mathplace figure-1-methode-second-degré Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

Si Mathplace quicklatex.com-56f6e4e661d60b6909ef64f9701e25a0_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  alors :

Mathplace quicklatex.com-a41ecae965454e53efac00fd6a195bcd_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  sur les intervalles Mathplace quicklatex.com-9430106c68ebb9a32570d1260f1ac601_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  et Mathplace quicklatex.com-0ffa16f76492fa446d420f51c385d3f2_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré   

Mathplace quicklatex.com-d374e28e40338ebbd123900efbcfec9a_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  sur l’intervalle Mathplace quicklatex.com-6290fb19937e8c1a47ee81aa5f0a14af_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

Et Mathplace quicklatex.com-3d91d3f3ea8445dda3a55dcb24cf31c7_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  pour Mathplace quicklatex.com-0c370df3125507d62b51a2e857903ba8_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  ou Mathplace quicklatex.com-54ed657025d152e65f024c54025f398d_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  .

Si Mathplace quicklatex.com-df9e28948f60ac854b11bd7aeceeda21_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  alors :

Mathplace quicklatex.com-d374e28e40338ebbd123900efbcfec9a_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  sur les intervalles Mathplace quicklatex.com-9430106c68ebb9a32570d1260f1ac601_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  et Mathplace quicklatex.com-0ffa16f76492fa446d420f51c385d3f2_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré   

Mathplace quicklatex.com-a41ecae965454e53efac00fd6a195bcd_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  sur l’intervalle Mathplace quicklatex.com-6290fb19937e8c1a47ee81aa5f0a14af_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

Et Mathplace quicklatex.com-3d91d3f3ea8445dda3a55dcb24cf31c7_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  pour Mathplace quicklatex.com-0c370df3125507d62b51a2e857903ba8_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  ou Mathplace quicklatex.com-54ed657025d152e65f024c54025f398d_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  .

Cas 2 :  Si Mathplace quicklatex.com-1f554fe5e430494f4bf436e0b8d72cb9_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  Alors le signe de Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  est le signe de Mathplace quicklatex.com-f856438660a2b836b86b1bb9a4ac9758_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  et Mathplace quicklatex.com-f856438660a2b836b86b1bb9a4ac9758_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré   s’annule en un point.

Cas 3 :  Si Mathplace quicklatex.com-b97225ea6ad9b00acdf29cc0992f31e7_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  Alors le signe de Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  est le signe de Mathplace quicklatex.com-f856438660a2b836b86b1bb9a4ac9758_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  et Mathplace quicklatex.com-f856438660a2b836b86b1bb9a4ac9758_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré   ne s’annule pas.

 

 

Exemple

Déterminer le signe du polynômes du second degré suivant en fonction des valeurs de Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  : Mathplace quicklatex.com-feec4a3006b7d80674fa57c192f727a7_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré   

 

 

Le discriminant de Mathplace quicklatex.com-feec4a3006b7d80674fa57c192f727a7_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  est Mathplace quicklatex.com-03fecbf4bf308efa4dc0239b61ab77f5_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

Ainsi Mathplace quicklatex.com-feec4a3006b7d80674fa57c192f727a7_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  a deux racines Mathplace quicklatex.com-96744c74e221690c80e313477bfe99d0_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  et Mathplace quicklatex.com-2e22ae09929c4ff86a374361df267c60_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

Et on a le tableau suivant :

 

Mathplace figure-2-methode-second-degré Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

 

Astuce :

Résolution des équations du type Mathplace quicklatex.com-bf48e2af074dc3a465f54cc0b3db35a0_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

Si Mathplace quicklatex.com-df9e28948f60ac854b11bd7aeceeda21_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  l’équation n’a pas de solution et Mathplace quicklatex.com-5f016dd975b51c0286bff69d9c7a93ed_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

Si Mathplace quicklatex.com-c500acfb71565d416a71851711d1b44b_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  l’équation a une solution Mathplace quicklatex.com-ce6a25ff772e488ae5519a544379a7bd_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

Si Mathplace quicklatex.com-56f6e4e661d60b6909ef64f9701e25a0_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  l’équation a deux solutions Mathplace quicklatex.com-f346dd260251a1e2b6811034e142744d_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

 

 

Exemple :

Résoudre les équations suivantes : Mathplace quicklatex.com-2e1d24d17539fb858374074f849bb9ae_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  ; Mathplace quicklatex.com-c1f2311c987c25993b08a0fec8183013_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

 

Mathplace quicklatex.com-9c21ee622e260652641892c369bd8ab5_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  ainsi Mathplace quicklatex.com-7fa2150735259d9b038fd118cf3a67fa_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré

 

Mathplace quicklatex.com-54f64c398168c372d1f8bb073aee383f_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  ainsi Mathplace quicklatex.com-5f016dd975b51c0286bff69d9c7a93ed_l3 Méthode 5 : Déterminer le signe d’un polynôme du second degré  .