Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ?

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Pour déterminer les probabilités des événements de la forme :

« Obtenir au plus Mathplace quicklatex.com-5e2d10ed2cfea6b7ca90cc035d64360c_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? succès à la fin de fin de l’expérience » c’est calculer Mathplace quicklatex.com-cf59af50c05cebffcf7f3dd58b699578_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ?

Ou « obtenir au moins Mathplace quicklatex.com-5e2d10ed2cfea6b7ca90cc035d64360c_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? succès à la fin de fin de l’expérience » c’est calculer Mathplace quicklatex.com-cf59af50c05cebffcf7f3dd58b699578_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? , lorsque Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? suit la loi binomiale Mathplace quicklatex.com-b844c0ac996d42bf1f7db996b7313865_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? , il suffit d’appliquer les formules suivantes :

 

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Exemple :

Expérience : On lance dis fois un dé à 6 faces, dont les faces sont numéroté de 1 à 6. Lors d’un lancé, si le numéro qui apparait est 1 alors c’est un succès, sinon c’est un échec.

On note Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? la variable aléatoire qui compte le nombre de succès de cette série de Mathplace quicklatex.com-a740d5fb2d3c0f1c57585e81bf5c92e2_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? lancers.

Déterminer la probabilité d’avoir au plus Mathplace quicklatex.com-d8c83a567c1372e5f2c4003db2c5f4de_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? succès et celle d’avoir au moins Mathplace quicklatex.com-6e19d1fb79b0bae712c748d3614a5844_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? .

Déterminer la probabilité d’avoir au plus Mathplace quicklatex.com-faa01e4c7e5e9849f3743c9d65b2e479_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? succès

 

Solution :

L’événement « avoir au plus 4 succès » correspond à « Mathplace quicklatex.com-40b86da2376f5d1f96f12b395a5363fe_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? » Ainsi la probabilité qu’on cherche c’est :

    Mathplace quicklatex.com-c002c552aa870b82b70c44ebad260284_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ?

 

Et il suit que la probabilité de l’événement contraire : « avoir au moins 5 succès » est :

Mathplace quicklatex.com-11e2d7749ef03877ee063049c56efa31_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ?

 

Ici on cherche Mathplace quicklatex.com-e66f1d0be7421fdb0c34a296fba28732_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? .

Mais déterminer cette probabilité en utilisant directement la formule Mathplace quicklatex.com-7b759f7a235c69bb090b9fbc045f3527_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? n’est pas éfficase du tout ! au contraire c’est plustôt très fastidieux car la somme englobe 8 termes à calculer.

Il est donc préférable de déterminer la probabilité de l’événement contraire c’est-à-dire Mathplace quicklatex.com-397f51b6df58df4f444c3f568f47d33b_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? qui contient seulement 3 termes à calculer.

Ainsi on a :

Mathplace quicklatex.com-154f01b8551e239374a3dce5bf7c969d_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? = Mathplace quicklatex.com-7e3bc815c8113db10f439914288629de_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? = Mathplace quicklatex.com-5768cf26aade9deed2fef5ae13db418a_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ? = Mathplace quicklatex.com-61d98043c60d98a85528f29a8c4c86ef_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ?

 

Il vient alors que Mathplace quicklatex.com-faf52ed5e484aef6d58caede29dd72c9_l3 Méthode 5 : Comment déterminer p(X?k) ou p(X?k) lorsque X suit la loi binomiale ?

Résultat intéressant !! il est presque impossible d’avoir plus de 8 succès …