Méthode 4 : Orthogonalité 

 

A – Comment montrer que deux droites sont orthogonales en utilisant leurs vecteurs directeurs ?

Pour montrer que deux droites Mathplace quicklatex.com-1aa16d2139547bbe80b6f4a460e646fb_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    et Mathplace quicklatex.com-be28a94ec9a41b13944174a01a28bd33_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    de vecteur directeur respectif Mathplace quicklatex.com-5dd94c9be02f198a3d02ab9e027a9731_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    et Mathplace quicklatex.com-bf82ffede1ad52793a1f2f8d4d9cb328_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    sont orthogonales, il suffit de montrer que : Mathplace quicklatex.com-08a37be20da939693821d16bc0dc0853_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    .

 

B – Comment montrer que deux droites sont orthogonales en utilisant leurs vecteurs normaux ?

Pour montrer que deux droites Mathplace quicklatex.com-1aa16d2139547bbe80b6f4a460e646fb_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    et Mathplace quicklatex.com-be28a94ec9a41b13944174a01a28bd33_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    de vecteur normal respectif Mathplace quicklatex.com-30c4c81ad40d4ec7863e7e22717156d0_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    et Mathplace quicklatex.com-ab1c941cf4586381f57e81277f1cda92_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    sont orthogonales, il suffit de montrer que Mathplace quicklatex.com-995053ec9c4540ef8e0f0b9416390fad_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    .

 

Exemple :

Montrer de deux manières que les droites suivantes sont orthogonales :

Mathplace quicklatex.com-be9cd13d7dc95ed7a5da521bc5ece9cc_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    et Mathplace quicklatex.com-be7ddec8c25fe03e24e6fb65c9dc1b67_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    .

 

Solution :

En utilisant les vecteurs directeurs

Un vecteur directeur de la droite Mathplace quicklatex.com-dcac70e39eb6c323a6022a62b8af2a57_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    est Mathplace quicklatex.com-b5f9a61504658764359ea615ac874ca0_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    et un vecteur directeur de la droite Mathplace quicklatex.com-de6be4ba3472e770cf049f8679875943_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    est Mathplace quicklatex.com-ac8cbe44c7331f27928626a458161add_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    .

Le produit scalaire des vecteurs Mathplace quicklatex.com-b5f9a61504658764359ea615ac874ca0_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    et Mathplace quicklatex.com-ac8cbe44c7331f27928626a458161add_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    est : Mathplace quicklatex.com-92354eb4eefeb8ced4421842f90701a3_l3 Méthode 4 : Orthogonalité

Il suit que les vecteurs Mathplace quicklatex.com-5dd94c9be02f198a3d02ab9e027a9731_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    et Mathplace quicklatex.com-bf82ffede1ad52793a1f2f8d4d9cb328_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    sont orthogonaux. Il vient donc que les droite Mathplace quicklatex.com-dcac70e39eb6c323a6022a62b8af2a57_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    et Mathplace quicklatex.com-de6be4ba3472e770cf049f8679875943_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    sont orthogonales.

 

En utilisant les vecteurs normaux

Un vecteur normal de la droite Mathplace quicklatex.com-dcac70e39eb6c323a6022a62b8af2a57_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    est Mathplace quicklatex.com-009fc1ac78c2906b5b8a71b572bdcf9e_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    et un vecteur normal de la droite Mathplace quicklatex.com-de6be4ba3472e770cf049f8679875943_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    est Mathplace quicklatex.com-d988c03a6e826ba72bb9738de99110fc_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    .

Le produit scalaire des vecteurs Mathplace quicklatex.com-009fc1ac78c2906b5b8a71b572bdcf9e_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    et Mathplace quicklatex.com-d988c03a6e826ba72bb9738de99110fc_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    est : Mathplace quicklatex.com-02f1675baf6491e3e4fa169de197c6df_l3 Méthode 4 : Orthogonalité

Il suit que les vecteurs Mathplace quicklatex.com-30c4c81ad40d4ec7863e7e22717156d0_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    et Mathplace quicklatex.com-ab1c941cf4586381f57e81277f1cda92_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    sont orthogonaux.

Il vient donc que les droite Mathplace quicklatex.com-dcac70e39eb6c323a6022a62b8af2a57_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    et Mathplace quicklatex.com-de6be4ba3472e770cf049f8679875943_l3 Méthode 4 : Orthogonalité    sont orthogonales.

 
 
 

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