Sujet Progression:

Prenons l’exemple de l’inéquation suivante :

Mathplace quicklatex.com-7560a3a7ef8deb3a44f56e0ca92de8c7_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient

 

Si on développe cette expression on ne se retrouve pas qu’avec des termes du premier degré, on ne peut résoudre cette inéquation aussi simplement que dans la méthode 1.

 

La résolution de ce type d’équation se fait en différentes étapes :

  1. Regrouper tous les termes à gauche de l’inéquation pour n’avoir qu’un zéro à droite.
  2. Mettre tous les termes sous le même dénominateur si présence d’une fraction.
  3. Factoriser le numérateur et le dénominateur si possible pour n’avoir que des produits de facteurs.
  4. Déterminer toutes les valeurs qui annulent chaque facteur au numérateur ainsi que les valeurs interdites qui annulent le dénominateur.
  5. Tracer le tableau de variation avec Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    variant de Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    à Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    et y placer toutes les valeurs qui annulent les facteurs.
  6. Faire une ligne pour chaque facteur et ajouter un zéro sur l’entre colonnes aux valeurs pour lesquelles ces facteurs s’annulent.
  7. Mettre une double barre à l’entre colonnes aux valeurs interdites.
  8. Etudier les signes de chaque facteur en y plaçant les « + » et « – » adéquats.
  9. Remplir la dernière ligne correspondant à l’expression globale de la formule située à gauche de l’inéquation. Sur la dernière ligne, projeter tous les zéros des autres lignes et remplacer les zéros par une double barre quand il s’agit d’un facteur au dénominateur.
  10. Compléter la dernière ligne en appliquant la règle des signes colonne par colonne.
  11. Conclure sur la solution de l’inéquation.

 

Résolvons à présent notre équation en suivant les étapes.

 

Etape 1

Résoudre Mathplace quicklatex.com-7560a3a7ef8deb3a44f56e0ca92de8c7_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    revient à résoudre Mathplace quicklatex.com-506de079b6508b637819a170a32e7701_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    .

On pose Mathplace quicklatex.com-7ca76267be1799a1a24f61e6998a615a_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    .

On cherche donc les réels Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient     qui vérifient Mathplace quicklatex.com-d2c9d7e93ab63d76a48079cc829fe7e1_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    .

Pour cela il convient d’étudier le signe de Mathplace quicklatex.com-73381617885728060cb9ef28648a1b01_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    pour trouver les réels pour lesquels elle est négative.

On réarrange Mathplace quicklatex.com-73381617885728060cb9ef28648a1b01_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    de façon à n’avoir que des produits ou quotients de facteurs.

 

Etape 2

Mathplace quicklatex.com-f51768dbcd872ffbf94454a81c873ec9_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient

 

Etape 3

Mathplace quicklatex.com-dd6480f461ba9a30e39dcb0c0dfe58d4_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient

 

Etape 4

Mathplace quicklatex.com-88eea693328c01d936ac694bece5ada0_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    s’annule pour Mathplace quicklatex.com-2a4a947fb5e5b89ad7729d2a37d37214_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    .

Mathplace quicklatex.com-595eb5a07d3ae11ae79d19e1f08225c8_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    s’annule pour Mathplace quicklatex.com-eea0221b21deeea714246433f4a1889d_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    .

La détermination des valeurs interdites se fait avec les facteurs en dénominateur :

Mathplace quicklatex.com-536c7354550cbdbb7c0e8e4d1450b3f0_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    s’annule pour Mathplace quicklatex.com-8dab77038d7ce6c3cd8d24263471b767_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient

Mathplace quicklatex.com-d37f3197634f18036a476eb127c27315_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    est donc une valeur interdite.

 

Etape 5 à 10

 

Mathplace figure3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient

 

Etape 11

Nous avons vu que résoudre Mathplace quicklatex.com-7560a3a7ef8deb3a44f56e0ca92de8c7_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    revenait à résoudre Mathplace quicklatex.com-d2c9d7e93ab63d76a48079cc829fe7e1_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    .

Or d’après la dernière ligne du tableau Mathplace quicklatex.com-73381617885728060cb9ef28648a1b01_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    est strictement négative sur Mathplace quicklatex.com-58293762fc8ef1b1312e713edec27d35_l3 Méthode 3 - Résolution d'inéquation produit ou quotient    .

 
 

Pas encore inscrit ?.

Inscrivez-vous dès maintenant !

Et accédez à tous les cours, exercices gratuitement et bénéficier de l'offre d'aide aux devoirs.
S'INSCRIRE
close-link