Etant donnés deux vecteurs Mathplace quicklatex.com-78e373263655c104f6817b36afa4856d_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    et Mathplace quicklatex.com-040262dcadb6a0f3ecd12b4ba74fee15_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    formant une base du plan, pour déterminer les coordonnées d’un vecteur Mathplace quicklatex.com-9789dd221b828b7f0bcd9f6ca798935f_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    dans la base Mathplace quicklatex.com-d74c12afb87f8349dbf60a00e051898d_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    :

 

Etape 1 : On pose Mathplace quicklatex.com-9723eba2ad1fd53f466516782af946b5_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base

 

Etape 2 : On remplace Mathplace quicklatex.com-ad0a6d9f5a31336e7a9b39faa9b9403b_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    et Mathplace quicklatex.com-6c22cf293fc81c927a4d204e7681d5ee_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    par leurs coordonnées, on obtient :

Mathplace quicklatex.com-0fb277c86dcb35df759bb196756f8fe6_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base

 

Etape 3 : Comme Mathplace quicklatex.com-9789dd221b828b7f0bcd9f6ca798935f_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    alors par identification, on a : Mathplace quicklatex.com-52d78613da20acab064ce12dbff0b674_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base

 

Etape 4 : on résout le système précédant et on trouve Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    et Mathplace quicklatex.com-f5a74e4bef9e19a7809e20bb596825d7_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    .

 

Etape 5 : les coordonnées de Mathplace quicklatex.com-5d926ca896eaeba76c5ef904836e20d9_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    dans Mathplace quicklatex.com-d74c12afb87f8349dbf60a00e051898d_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    sont Mathplace quicklatex.com-65b4f9d5217e9000f0f24d6043b284db_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base

 

Exemple

Considérons les vecteurs Mathplace quicklatex.com-0bbc8e99942475a428161bcfd8d856bc_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    , Mathplace quicklatex.com-1f45e594020d2bc2c0f47acc5f20d648_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    et Mathplace quicklatex.com-34103bd814f2495db3801868148cadf7_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base

Montrer que Mathplace quicklatex.com-d74c12afb87f8349dbf60a00e051898d_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    forment une base du plan

Déterminer les coordonnées de Mathplace quicklatex.com-5d926ca896eaeba76c5ef904836e20d9_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    dans Mathplace quicklatex.com-d74c12afb87f8349dbf60a00e051898d_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base

 

On a Mathplace quicklatex.com-55510ce4b91613ca4295a4e88e7e2bd7_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    d’où Mathplace quicklatex.com-d74c12afb87f8349dbf60a00e051898d_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    forment une base du plan

Posons Mathplace quicklatex.com-9723eba2ad1fd53f466516782af946b5_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    et déterminons Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    et Mathplace quicklatex.com-f5a74e4bef9e19a7809e20bb596825d7_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    .

On a Mathplace quicklatex.com-dc5eda705862bbf3375238a21ec792ec_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base

Comme a Mathplace quicklatex.com-34103bd814f2495db3801868148cadf7_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base    , il vient par identification que : Mathplace quicklatex.com-a2289e3102e450f4afe3c265c970825c_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base

d’où Mathplace quicklatex.com-c14fe69fd8eed550373512ee8e90b406_l3 Méthode 14 : Ecrire un vecteur dans une base

 

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