Sujet Progression:

4.1 Continuité

Une fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    est continue sur un intervalle Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    , si elle est d\’efinie sur cet intervalle et sa courbe repr\’esentative est trac\’ee sans lever la main (ou le crayon), d’un « trait continue ».

Plus précisement, pour tout r\’eel Mathplace quicklatex.com-5cb5e5eb41ae49eacfc4af26b25d6b53_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    , Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    est continue en a si Mathplace quicklatex.com-5b28f38f9ab74934899c53b0a8edce8c_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    on admet que:

  • toute fonctions de r\’ef\’erence (fonctions affine, inverse, carr\’ee, racine carr\’ee) est continue sur les ensembles de d\’efinitions respectifs.
  • toutes fonctions obtenues par op\’erations ou compositions de fonctions de r\’ef\’erence sont aussi continues sur chacun des intervalles ou elles sont d\’efinies.
  • toute fonction d\’erivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

 

4.2 Propriétés des valeurs intermédiaires

Théorème 1

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    une fonction continue sur un intervalle Mathplace quicklatex.com-bf7ec308123703b05317d4db9eab5404_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    et soit Mathplace quicklatex.com-5e2d10ed2cfea6b7ca90cc035d64360c_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    un r\’eel compris entre Mathplace quicklatex.com-91d2115652711b3fe6474c20eea8ad44_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    et Mathplace quicklatex.com-f270e1ea736840210174bb17f607c51a_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    . Alors l’\’equation Mathplace quicklatex.com-a459bcad4ed4e0bb1a4b8a86b8574212_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    admet toujours au moins une solution dans Mathplace quicklatex.com-bf7ec308123703b05317d4db9eab5404_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    .

 

Théorème 2

soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle Mathplace quicklatex.com-bf7ec308123703b05317d4db9eab5404_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    ; l’\’equation Mathplace quicklatex.com-a459bcad4ed4e0bb1a4b8a86b8574212_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    avec Mathplace quicklatex.com-6c9cd06d0e29c2131eae6f328c36ffa9_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    ou Mathplace quicklatex.com-dc7949729ac7cf7e74c7c9742ba73b4b_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    admet une unique solution Mathplace quicklatex.com-69e657e0fd9499a39a151220fd56db0a_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    .

 

Cas particulier :

Si Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    est continue et strictement monotone sur Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    , si Mathplace quicklatex.com-0436c730723c9a1b3ded34180ca23b0d_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    sont de signes contraires Mathplace quicklatex.com-be7dee0d61708923b0017f92c5ad6f41_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    alors l’\’equation Mathplace quicklatex.com-4cad8f3c5533170d4237db0fc0056600_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    admet une unique solution dans l’intervalle Mathplace quicklatex.com-bf7ec308123703b05317d4db9eab5404_l3 IV. Propriétés des valeurs intermédiaires    .

 
 

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