IV. Propriétés des valeurs intermédiaires

4.1 Continuité

Une fonction est continue sur un intervalle , si elle est d\’efinie sur cet intervalle et sa courbe repr\’esentative est trac\’ee sans lever la main (ou le crayon), d’un « trait continue ».

Plus précisement, pour tout r\’eel , est continue en a si on admet que:

• toute fonctions de r\’ef\’erence (fonctions affine, inverse, carr\’ee, racine carr\’ee) est continue sur les ensembles de d\’efinitions respectifs.
• toutes fonctions obtenues par op\’erations ou compositions de fonctions de r\’ef\’erence sont aussi continues sur chacun des intervalles ou elles sont d\’efinies.
• toute fonction d\’erivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

4.2 Propriétés des valeurs intermédiaires

Théorème 1

Soit une fonction continue sur un intervalle et soit un r\’eel compris entre et . Alors l’\’equation admet toujours au moins une solution dans .

Théorème 2

soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ; l’\’equation avec ou admet une unique solution .

Cas particulier :

Si est continue et strictement monotone sur , si sont de signes contraires alors l’\’equation admet une unique solution dans l’intervalle .