Sujet Progression:

 

Propriété :

Une fonction polynôme se comporte en Mathplace quicklatex.com-ba0418b214f7d2554915cbd4add99f56_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles    comme son terme de plus haut degré

 

Démonstration :

On pose Mathplace quicklatex.com-d09a4739ab14f5aa23bb93f7cb09a733_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles    .

Par soucis de simplification d’écriture, on va prendre Mathplace quicklatex.com-72859779bcb7577aa7e461a80a41b155_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles    , mais cette démonstration peut être extrapoler pour tout entier Mathplace quicklatex.com-5e2d10ed2cfea6b7ca90cc035d64360c_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles

 

Donc pour Mathplace quicklatex.com-d0a7cd98603ca7fda221f32e71f69ef3_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles    , on a Mathplace quicklatex.com-59f2458014400366b0dc5cd1c513a61b_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles

 

Pour tout réel Mathplace quicklatex.com-3a901b9089b76e99ceffa17595e537a9_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles    ,

Mathplace quicklatex.com-c92cc5cac7436bdfcc5d0d87517ff140_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles

Mathplace quicklatex.com-ed195268560aa4b16c94270b2f82232e_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles

 

Or Mathplace quicklatex.com-720f111076eb5fde9d2b95c33860a72c_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles

 

Donc, Mathplace quicklatex.com-a94b7e0b97d4e8191636037aa6fb760a_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles

 

On a bien une limite en Mathplace quicklatex.com-ba0418b214f7d2554915cbd4add99f56_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles    qui se comporte comme son plus haut degré.

 

 

Exemple :

Calcul de Mathplace quicklatex.com-3d80f401d130a3dc74b8e750b947e650_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles

 

D’après la propriété, on peut dire que Mathplace quicklatex.com-4b20c5550772b4644d6c9272b5276ea5_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles

 

 

Propriété :

Une fonction rationnelle se comporte en Mathplace quicklatex.com-ba0418b214f7d2554915cbd4add99f56_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles    comme le rapport de ses termes de plus haut degré

 

Exemple :

On va reprendre un exemple introduit précédemment :

Calcul de Mathplace quicklatex.com-b3fbb17c4669256641bf097d65931df7_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles    )

 

Mathplace quicklatex.com-503df78d82b4aab2eada7b9028d9ff64_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles    pour tout Mathplace quicklatex.com-4e8f849805e288b2b9ea58d32a69c08c_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles

Mathplace quicklatex.com-4b9d0532a5cf76a4a1f424e267a73e03_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles    pour tout Mathplace quicklatex.com-3a901b9089b76e99ceffa17595e537a9_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles

On simplifie,

=Mathplace quicklatex.com-67102fb464297fe1fd402b598c03a9c4_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles     pour tout Mathplace quicklatex.com-3a901b9089b76e99ceffa17595e537a9_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles

 

Or,

Mathplace quicklatex.com-07059fd8adbfab915bf77839a27e5900_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles    et Mathplace quicklatex.com-5c95a05796aa34cf9655642cc21d2a25_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles

 

Donc, Mathplace quicklatex.com-2156f238eee7523541f1c30f45a82966_l3 IV. Cas des fonctions polynômes et rationnelles

 
 
 

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