III. Opérations sur les limites

Sujet Progress:

A. Limite de la somme $Mathplace quicklatex.com-f658bb701094c01c40a1283baea84080_l3 III. Opérations sur les limites$

Ici on se place dans les cas $Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 III. Opérations sur les limites$ tend indifféremment vers un réel $Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 III. Opérations sur les limites$ , vers $Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 III. Opérations sur les limites$ ou $Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 III. Opérations sur les limites$ :

$Mathplace quicklatex.com-8feee7f99e5d908037e5151b7bb53ff4_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-d9ef2b62e429f142d9d894993bf93ca5_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-d9ef2b62e429f142d9d894993bf93ca5_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-d9ef2b62e429f142d9d894993bf93ca5_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 III. Opérations sur les limites$
$Mathplace quicklatex.com-9fe08c4965a36e12806875d61b5ccd80_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-30394ec47b8a33950680cabfc2a34005_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 III. Opérations sur les limites$
$Mathplace quicklatex.com-01ec6638359a575534ad6bede431f9e4_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-c1ab7a9353f9de2f1c22a68468922f79_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 III. Opérations sur les limites$	Indéterminé

Exemple :

Calculer $Mathplace quicklatex.com-00c4514326285caf20fc6f0f6cda1a88_l3 III. Opérations sur les limites$

$Mathplace quicklatex.com-c76268c69fae510475a5611a1d6c8002_l3 III. Opérations sur les limites$

$Mathplace quicklatex.com-2cd477fafbf8c2436bccab721b85b615_l3 III. Opérations sur les limites$

donc $Mathplace quicklatex.com-d05f1cb7c42175416c3b61ca0d472aa0_l3 III. Opérations sur les limites$

Exemple :

Calculer $Mathplace quicklatex.com-21859a97ca9c0cc6eefef61471831f21_l3 III. Opérations sur les limites$

$Mathplace quicklatex.com-08390d610e0ff6b58ced609f8c94384c_l3 III. Opérations sur les limites$

$Mathplace quicklatex.com-aba7b4a3df4eb52edf1d327727e38daa_l3 III. Opérations sur les limites$

donc $Mathplace quicklatex.com-97b8ed9e3f583fab65a667c08f27cf96_l3 III. Opérations sur les limites$

B. Limite du produit $Mathplace quicklatex.com-b637c20c61cd9784fca954a5c8833402_l3 III. Opérations sur les limites$

$Mathplace quicklatex.com-8feee7f99e5d908037e5151b7bb53ff4_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-d9ef2b62e429f142d9d894993bf93ca5_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-ff8c94dbe263335ecde97ef47737b72a_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-ff8c94dbe263335ecde97ef47737b72a_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 III. Opérations sur les limites$
$Mathplace quicklatex.com-9fe08c4965a36e12806875d61b5ccd80_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-30394ec47b8a33950680cabfc2a34005_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-ba0418b214f7d2554915cbd4add99f56_l3 III. Opérations sur les limites$
$Mathplace quicklatex.com-aaddc76e807b80b122b73440b3a57850_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-bbde0a5478d95790d6dc5e7415cb6f74_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-ba0418b214f7d2554915cbd4add99f56_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-ba0418b214f7d2554915cbd4add99f56_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 III. Opérations sur les limites$	Indéterminé

Exemple :

Calculer $Mathplace quicklatex.com-958859573a153984374e7c1852bd99fc_l3 III. Opérations sur les limites$

$Mathplace quicklatex.com-1940bec48504ba5b8f7c269ab0c905fb_l3 III. Opérations sur les limites$

$Mathplace quicklatex.com-0ff10ae4fa40ef6a3080d09b5b22bd8e_l3 III. Opérations sur les limites$

donc $Mathplace quicklatex.com-c51ac98b1ae0ec5c44ae217b0a951e76_l3 III. Opérations sur les limites$

C. Limite du quotient $Mathplace quicklatex.com-2ff2f7313296660dab2b2e988d4f087f_l3 III. Opérations sur les limites$

$Mathplace quicklatex.com-8feee7f99e5d908037e5151b7bb53ff4_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-d9ef2b62e429f142d9d894993bf93ca5_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-d9ef2b62e429f142d9d894993bf93ca5_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-ff8c94dbe263335ecde97ef47737b72a_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-ba0418b214f7d2554915cbd4add99f56_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-ba0418b214f7d2554915cbd4add99f56_l3 III. Opérations sur les limites$
$Mathplace quicklatex.com-9fe08c4965a36e12806875d61b5ccd80_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-dc2d6fe83fae9fe98c1d4c996652fea8_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-ba0418b214f7d2554915cbd4add99f56_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-dc2d6fe83fae9fe98c1d4c996652fea8_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-ba0418b214f7d2554915cbd4add99f56_l3 III. Opérations sur les limites$
$Mathplace quicklatex.com-9f84c8a8f3dbcdb6529d8b16b0db211e_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-bd25668f897cffe3fcea226ef5c762c8_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-ba0418b214f7d2554915cbd4add99f56_l3 III. Opérations sur les limites$	$Mathplace quicklatex.com-ba0418b214f7d2554915cbd4add99f56_l3 III. Opérations sur les limites$	Indéterminé	Indéterminé

Exemple :

Calculer $Mathplace quicklatex.com-b3fbb17c4669256641bf097d65931df7_l3 III. Opérations sur les limites$ )

$Mathplace quicklatex.com-85ac49d995e30514f726bf69f7dc7f3d_l3 III. Opérations sur les limites$

$Mathplace quicklatex.com-03da0e56eeaccdbfdf48e895477782d5_l3 III. Opérations sur les limites$

On a ici une forme indéterminée. on verra plus loin dans le chapitre comment lever cette indétermination.

D. Composé de fonctions

Théorème :

Soit $Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 III. Opérations sur les limites$ définie sur un intervalle $Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 III. Opérations sur les limites$ et g définie sur $Mathplace quicklatex.com-3f4a655cdaa960db8389655bc82e6da9_l3 III. Opérations sur les limites$ . On défnit la fonction composée de $Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 III. Opérations sur les limites$ par $Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 III. Opérations sur les limites$ :

$Mathplace quicklatex.com-f41aba01cc51a3f88bb8f1ba5c62b5e6_l3 III. Opérations sur les limites$ .

Si $Mathplace quicklatex.com-6b7062334bc69f01c2cdbf76e2ef1e41_l3 III. Opérations sur les limites$ et $Mathplace quicklatex.com-afe4a167d4bfdfe92db73eb6de7b4bd0_l3 III. Opérations sur les limites$ , alors $Mathplace quicklatex.com-d751c91c18e38820d696e87b9dc1486e_l3 III. Opérations sur les limites$

Exemple :

Calculer la limite en $Mathplace quicklatex.com-9182603e3932aa3fcc182ddc82c26c2b_l3 III. Opérations sur les limites$ de la fonction composée de $Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 III. Opérations sur les limites$ par $Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 III. Opérations sur les limites$ tel que : $Mathplace quicklatex.com-de88bea3258907a81611a6f4b63f645b_l3 III. Opérations sur les limites$ et $Mathplace quicklatex.com-f014e83268930608f302f6413623ccde_l3 III. Opérations sur les limites$

$Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 III. Opérations sur les limites$ est définie sur $Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 III. Opérations sur les limites$ et $Mathplace quicklatex.com-a4ac6748fba08340369714855af96353_l3 III. Opérations sur les limites$ et $Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 III. Opérations sur les limites$ est définie sur $Mathplace quicklatex.com-ea4b210f9d4d56af9aff2987297d5735_l3 III. Opérations sur les limites$

$Mathplace quicklatex.com-94cd733ccff17cc94ed5dfdf36d090f9_l3 III. Opérations sur les limites$

$Mathplace quicklatex.com-adffef291d3113d34694cd38c333e52b_l3 III. Opérations sur les limites$

donc $Mathplace quicklatex.com-8334aaac67164b2ffb7d516c460f2454_l3 III. Opérations sur les limites$

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III. Opérations sur les limites

A. Limite de la somme

Exemple :

Exemple :

B. Limite du produit

Exemple :

C. Limite du quotient

Exemple :

D. Composé de fonctions

Théorème :

Exemple :

MATHPLACE

A. Limite de la somme $Mathplace quicklatex.com-f658bb701094c01c40a1283baea84080_l3 III. Opérations sur les limites$

B. Limite du produit $Mathplace quicklatex.com-b637c20c61cd9784fca954a5c8833402_l3 III. Opérations sur les limites$

C. Limite du quotient $Mathplace quicklatex.com-2ff2f7313296660dab2b2e988d4f087f_l3 III. Opérations sur les limites$