II. Limite d’une fonction en un réel a

Sujet Progress:

 

Nous allons introduire ici les notions de limite à droite et limite à gauche d’un réel.

 

A. Limite à droite

 

Définition :

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a une fonction définie sur Mathplace quicklatex.com-5fc304393df3696092d8133ee40ac261_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a . On dit que Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a admet pour limite à droite en Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a , Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a si tout intervalle du type Mathplace quicklatex.com-a68d57ed66d9bb9794031bb31e842d4f_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a contient tous les Mathplace quicklatex.com-73381617885728060cb9ef28648a1b01_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a dès que Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a est assez proche de Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a , Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a restant supérieur à Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a .

On note alors  Mathplace quicklatex.com-99804dee39ab66f83e0e4bf7882e5308_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a

 

 

B. Limite à gauche

 

On a une définition équivalente pour la limite à gauche

 

Définition :

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a une fonction définie sur Mathplace quicklatex.com-75b103a1ff74ea8f53cd7a26aa6ab90a_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a . On dit que Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a admet pour limite à gauche en Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a , Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a si tout intervalle du type Mathplace quicklatex.com-c59cdc37e57aaae15df408205c779530_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a contient tous les Mathplace quicklatex.com-73381617885728060cb9ef28648a1b01_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a dès que Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a est assez proche de Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a , Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a restant inférieur à Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a .

On note alors  Mathplace quicklatex.com-6fdbb171571b41f9d5d9aee02ebefc6e_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a

Définition :

Si Mathplace quicklatex.com-e041f079d9dd9b27b3ce926c1b6373da_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a , on dit alors que Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a admet une limite en Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a

 

Définition :

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a une fonction ayant pour limite Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a ou Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a  en Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a (ou à droite ou à gauche).

La droite d’équation Mathplace quicklatex.com-c9c6cbf6b184442919e1f7c267523aff_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a est une asymptote verticale à la courbe Mathplace quicklatex.com-4e6887e384866ead8e4cd4dea11e4eda_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a

 

Interprétation graphique :

 

Mathplace cours_tleS_limites03 II. Limite d'une fonction en un réel a

La droite d’équation Mathplace quicklatex.com-c9c6cbf6b184442919e1f7c267523aff_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a est asymptote à Mathplace quicklatex.com-2d9d85214243921a15ddc419281bdb32_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a

 

Exemple :

Calculer la limite en Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a de Mathplace quicklatex.com-d27241d6b3c124959e6223019a1edbb4_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a

 

Mathplace cours_tleS_limites04 II. Limite d'une fonction en un réel a

 

Le comportement de la fonction inverse amène à distinguer limite à gauche et limite à droite en Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a

 

Pour tout réel donné Mathplace quicklatex.com-900da5490a84ff26c52bdbed41a8a0c2_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a :

Si Mathplace quicklatex.com-892ef6fac9f09c184a14204ada19a5df_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a alors Mathplace quicklatex.com-34b11e886249f9d192ebbc054a3ff34e_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a

Ce qui se traduit par :

La limite à droite de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a en Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a conduit à : Mathplace quicklatex.com-99c52722c269db665269836056773086_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a

 

De la même manière, si Mathplace quicklatex.com-8df091bdd189ef46d40d4efb569af98c_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a alors Mathplace quicklatex.com-4654ffcf4c819e118b51b688a10ed60f_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a (avec Mathplace quicklatex.com-bd3e6ca01624cdce82641da4eeeb2b85_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a )

Ce qui se traduit par :

La limite à droite de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a en Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a conduit à : Mathplace quicklatex.com-78230af8c4fb74a80b46789e916733a9_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a

 

On peut également dire que la droite Mathplace quicklatex.com-f1df34d3203144f2d51fddf076cb1bf0_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a est asymptote à Mathplace quicklatex.com-4e6887e384866ead8e4cd4dea11e4eda_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a .

 

Mathplace quicklatex.com-f9f016a1b00724fde56241c0df24dcad_l3 II. Limite d'une fonction en un réel a