Sujet Progression:

Définition

Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier, c’est trouver deux nombres entiers :

  • le quotient et
  • le reste.

 

Ecriture en ligne

 

dividende = ( diviseur × quotient) + reste

 

La division euclidienne d’un nombre entier Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 II. Division euclidienne    par un nombre entier Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 II. Division euclidienne    s’écrit :

Mathplace quicklatex.com-3de85c9af2e6c39a6d4441cc582bdada_l3 II. Division euclidienne        avec   Mathplace quicklatex.com-9b39bbdfd8ba9e3e0a34ec068afd5ce8_l3 II. Division euclidienne

Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 II. Division euclidienne    : dividende

Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 II. Division euclidienne    : diviseur

Mathplace quicklatex.com-9ea028e65e75e44c796141a4f081ef9a_l3 II. Division euclidienne    : quotient

Mathplace quicklatex.com-fad011d2f54777e5075845eec860f796_l3 II. Division euclidienne    : reste

 

Exemple :

L’écriture en ligne de la division de 117 par 5 est : Mathplace quicklatex.com-a7f4a748a4fe07ca4c03543cff2b3c0d_l3 II. Division euclidienne

 

Propriété

Dans une division euclidienne, le reste est toujours inférieur au diviseur.

Exemple de division fausse (erreur à ne pas faire) :

 

//image

 

Le reste est supérieur au diviseur. La division est fausse.

Au lieu de Mathplace quicklatex.com-9ae0b1ba308d3d984a581b616108c5f7_l3 II. Division euclidienne    au quotient, il fallait écrire Mathplace quicklatex.com-d8c83a567c1372e5f2c4003db2c5f4de_l3 II. Division euclidienne    :

 

// image

 

Exemples d’exercices

1/ L’égalité suivante est juste : Mathplace quicklatex.com-687900943fc64265014ec94ab54c92c5_l3 II. Division euclidienne    . Correspond-elle à une division euclidienne ?

Le reste est Mathplace quicklatex.com-efd1a5003b415a9a90d9976ce7f35fff_l3 II. Division euclidienne    .

On peut choisir pour diviseur Mathplace quicklatex.com-0a5e1d1cb36a4f4f6b6811f5c18531cf_l3 II. Division euclidienne    ou Mathplace quicklatex.com-76f76850bf85271d92428086daa1c4e0_l3 II. Division euclidienne    .

Dans les deux cas, le reste est supérieur au diviseur.

Cette égalité ne représente :

  • ni la division euclidienne de Mathplace quicklatex.com-0932a3c821da35aa8fa4d3126eafde46_l3 II. Division euclidienne    par Mathplace quicklatex.com-0a5e1d1cb36a4f4f6b6811f5c18531cf_l3 II. Division euclidienne    ,
  • ni celle de Mathplace quicklatex.com-0932a3c821da35aa8fa4d3126eafde46_l3 II. Division euclidienne    par Mathplace quicklatex.com-76f76850bf85271d92428086daa1c4e0_l3 II. Division euclidienne    .

 

2/ Vérifier l’égalité suivante : Mathplace quicklatex.com-ceb801430e1c7b7bb60930e66693d6ba_l3 II. Division euclidienne    . Correspond-elle à une division euclidienne ? Si oui, laquelle ?

Mathplace quicklatex.com-7da7a9be5ccf94a82f7c767f0f5df971_l3 II. Division euclidienne

L’égalité est juste.

On peut choisir 7 ou 9 pour diviseur.

Comme le reste est Mathplace quicklatex.com-76f76850bf85271d92428086daa1c4e0_l3 II. Division euclidienne    et on a : reste < diviseur, donc reste < 9

Cette égalité représente donc la division euclidienne de 71 par 9.

 
 
 

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