Sujet

II. Division euclidienne

Sujet progression:

Définition

Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier, c’est trouver deux nombres entiers :

  • le quotient et
  • le reste.

 

Ecriture en ligne

 

dividende = ( diviseur × quotient) + reste

 

La division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier b s’écrit :

\color{red}{a = (b \times q) + r }    avec   \color{red}{r<b}

a : dividende

b : diviseur

q : quotient

r : reste

 

Exemple :

L’écriture en ligne de la division de 117 par 5 est : 117 = (5 \times 23)

 

Propriété

Dans une division euclidienne, le reste est toujours inférieur au diviseur.

Exemple de division fausse (erreur à ne pas faire) :

 

//image

 

Le reste est supérieur au diviseur. La division est fausse.

Au lieu de 3 au quotient, il fallait écrire 4 :

 

// image

 

Exemples d’exercices

1/ L’égalité suivante est juste : 137 = (15 \times 8) +17. Correspond-elle à une division euclidienne ?

Le reste est 17.

On peut choisir pour diviseur 15 ou 8.

Dans les deux cas, le reste est supérieur au diviseur.

Cette égalité ne représente :

  • ni la division euclidienne de 137 par 15,
  • ni celle de 137 par 8.

 

2/ Vérifier l’égalité suivante : 71 =(7 \times 9) +8. Correspond-elle à une division euclidienne ? Si oui, laquelle ?

(7 \times 9) +8 = 63 + 8 = 71

L’égalité est juste.

On peut choisir 7 ou 9 pour diviseur.

Comme le reste est 8 et on a : reste < diviseur, donc reste < 9

Cette égalité représente donc la division euclidienne de 71 par 9.