Sujet Progression:

2.1 Coordonnées d’un vecteur de l’espace

Si (Mathplace quicklatex.com-ad0a6d9f5a31336e7a9b39faa9b9403b_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-6c22cf293fc81c927a4d204e7681d5ee_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-79c034c5124616a6a390613e77814bbe_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base) est une base de l’espace, alors tout vecteur Mathplace quicklatex.com-26db774eb6d84a842ff594769b8a4d8b_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base de l’espace peut s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs Mathplace quicklatex.com-f7bec23f72a269d8c67843f7fd8b5467_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base et Mathplace quicklatex.com-79c034c5124616a6a390613e77814bbe_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base;

c’est-à-dire qu’il existe trois nombres réels Mathplace quicklatex.com-f25019e4ceb3f38f9d31b9440a51ce44_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base et Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base tels que Mathplace quicklatex.com-0745729fcbf5e58ff41bdde6c15d5cd8_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base. Mathplace quicklatex.com-f706ae63202aca7d5ca595689c546026_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base est unique.

Le triplet Mathplace quicklatex.com-f706ae63202aca7d5ca595689c546026_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base est appele coordonnées du vecteur Mathplace quicklatex.com-26db774eb6d84a842ff594769b8a4d8b_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base dans la base (Mathplace quicklatex.com-ad0a6d9f5a31336e7a9b39faa9b9403b_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-6c22cf293fc81c927a4d204e7681d5ee_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-79c034c5124616a6a390613e77814bbe_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base), on note Mathplace quicklatex.com-25c271d625f19845ec85c2ed29dd0ced_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base ou Mathplace quicklatex.com-65fd111269ceefdbe0de189d948d5be6_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base.

 

Exemple :

Si Mathplace quicklatex.com-d268a549ab52040e87dba0aaca2e4f48_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base est une base de Mathplace quicklatex.com-c7ef6573efc0e31509b759cd7704ecd3_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base et Mathplace quicklatex.com-5ee25e8045e48a592dc35b0c35d2d45d_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base alors Mathplace quicklatex.com-cef61a8b45ceff09cb837f86d66845f0_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base dans la base Mathplace quicklatex.com-d268a549ab52040e87dba0aaca2e4f48_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base.

 

2.2 Repère de l’espace – coordonnées d’un point

  • Mathplace quicklatex.com-dc2b76547aa2b70cd1a03ab90cfbc307_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-6c22cf293fc81c927a4d204e7681d5ee_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-25eb47d06f8057841bfa65c0cc298f37_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base est un repère de l’espace si Mathplace quicklatex.com-63fa0213ef7e99c77018f5822ed64924_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base est un point de l’espace appelé origine et Mathplace quicklatex.com-c378840fca533e4ed976635242172f2b_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-6c22cf293fc81c927a4d204e7681d5ee_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-25eb47d06f8057841bfa65c0cc298f37_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base une base.
  • Pour tout point Mathplace quicklatex.com-2c8c3703bbb3e5afe2853cae9fc4a248_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base de l’espace les coordonnées du vecteur Mathplace quicklatex.com-740b7c19e16c37eedc697c6c3f9f9294_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base dans la base Mathplace quicklatex.com-c378840fca533e4ed976635242172f2b_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-6c22cf293fc81c927a4d204e7681d5ee_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-25eb47d06f8057841bfa65c0cc298f37_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base sont les coordonnées du point Mathplace quicklatex.com-2c8c3703bbb3e5afe2853cae9fc4a248_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base dans le repère Mathplace quicklatex.com-dc2b76547aa2b70cd1a03ab90cfbc307_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-6c22cf293fc81c927a4d204e7681d5ee_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-25eb47d06f8057841bfa65c0cc298f37_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base. Ainsi Mathplace quicklatex.com-574b94976a3c0b097ebe58305325386f_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-a87373c1d9e071f620559a3007a8d82e_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-a15ebb86d7bc0102a22dc2f7f6811a86_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base est un repère de l’espace et Mathplace quicklatex.com-631514ba4a819a4eda516bd42cc4ad3a_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base alors Mathplace quicklatex.com-036383d2eb3e6861b937336007084041_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base dans le repère Mathplace quicklatex.com-574b94976a3c0b097ebe58305325386f_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-a87373c1d9e071f620559a3007a8d82e_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base, Mathplace quicklatex.com-a15ebb86d7bc0102a22dc2f7f6811a86_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base.

 

Astuce :

Pour determiner les coordonnées d’un vecteur ou d’un point de l’espace, on peut utiliser la relation de Chasles et l’egalité des vecteurs.

 

Exemple :

Soit Mathplace quicklatex.com-bad30c9b73c216add9a3b57eaafa87f2_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base un cube, Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base le milieu du segment Mathplace quicklatex.com-6027596a64cfb72757bdfd7208d8551a_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base.

 

Mathplace figure-12-v-e II. Coordonnées d’un vecteur dans une base

 

1- Determiner les coordonnées des vecteurs Mathplace quicklatex.com-0da00521a04a7007e208794f56c3b7c4_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base et Mathplace quicklatex.com-615ac002ce363372a169e79bf58ff7c3_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base dans la base Mathplace quicklatex.com-4557be87ba1bb99c86a0259fe2941f05_l3 II. Coordonnées d’un vecteur dans une base.

2- Determiner les coordonnées de

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