Sujet Progression:

1.1 Théorème de Moivre Laplace

Definitions

On dit qu’une variable aléatoire est centrée et reduite lorsque son esperence est nulle et son écart type est égal à 1.

 

Remarque :

Si Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 I. Lois normales    est une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs d’esperence Mathplace quicklatex.com-6c375c54419d6e992718e8bdb540d68a_l3 I. Lois normales    , de variance Mathplace quicklatex.com-3349c03e938fd55d32d2401cb2ffcd24_l3 I. Lois normales    et d’écart type Mathplace quicklatex.com-528ec0222d23ca1ff89c5dca9538075b_l3 I. Lois normales    ; alors la variable aléatoire Mathplace quicklatex.com-acd1302fe3e2e884e9a2534d53c22619_l3 I. Lois normales    est une variable aléatoire centrée reduite.

En effet :

  • Mathplace quicklatex.com-9b1509d333b428073c2ec16087cfffd3_l3 I. Lois normales    = Mathplace quicklatex.com-c08e967a8c9a881a770ffd2968447fa2_l3 I. Lois normales    = Mathplace quicklatex.com-1500a389df0e75fec441a9ab69a37574_l3 I. Lois normales    = Mathplace quicklatex.com-66bb57d52d9c1472ceaeb1acbb99087a_l3 I. Lois normales    = Mathplace quicklatex.com-a27ee66aff9eab06f6bb650385148d8e_l3 I. Lois normales    = Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 I. Lois normales    .
  • Mathplace quicklatex.com-fc85059a2464a3cf01b51567fc685a49_l3 I. Lois normales    = Mathplace quicklatex.com-88cc96c0490524a938c724281115ec38_l3 I. Lois normales    = Mathplace quicklatex.com-10f2ac2bb879ad63e5489ec3d60612bc_l3 I. Lois normales    = Mathplace quicklatex.com-b33f3185cfc7d74da97950ca153fceff_l3 I. Lois normales    =Mathplace quicklatex.com-d1af01692953e97891087f50cba831f0_l3 I. Lois normales    = Mathplace quicklatex.com-2d70fbbeab864d4b5bb1e63100a882f9_l3 I. Lois normales    .

 

Théorème (Moivre Laplace)

Soit Mathplace quicklatex.com-a2574fa96fea6934566428407b2dbe91_l3 I. Lois normales    un nombre de l’intervalle Mathplace quicklatex.com-8114d9eedbb296afa9a67ee1d524b783_l3 I. Lois normales    . Soit Mathplace quicklatex.com-82628126a700670771fce5cf119532cb_l3 I. Lois normales    une suite de variable aléatoire de loi binomiale Mathplace quicklatex.com-f128753273b4d03dc25cb7f6fdbc3556_l3 I. Lois normales    . On pose Mathplace quicklatex.com-4af0473a1f65de3de36ad8c84a0d5004_l3 I. Lois normales    qui est une variable aléatoire centrée reduite associée a Mathplace quicklatex.com-05119fbb480079f44b978b23f9e2623a_l3 I. Lois normales    (Mathplace quicklatex.com-e895614fb4712864f81912550a3cbb07_l3 I. Lois normales    et Mathplace quicklatex.com-4aaa79eed609320e053b9e46c1b771eb_l3 I. Lois normales    ). Alors pour tous réels Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 I. Lois normales    et Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 I. Lois normales    tels que Mathplace quicklatex.com-6487aa3ccb47a5cb644b2f68543b9868_l3 I. Lois normales    on a Mathplace quicklatex.com-cda2e416fc645b96b409a46520192500_l3 I. Lois normales    .

 

1.2. Loi reduite Mathplace quicklatex.com-15a32a3594bc5f04bf423337c827681b_l3 I. Lois normales

Propriété :

La fonction Mathplace quicklatex.com-c86a814f1bbc8563ff9fd35a8e2ee966_l3 I. Lois normales    est une densité de probabilité sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 I. Lois normales    .

 

Definition :

Une variable aléatoire suit la loi centrée reduite Mathplace quicklatex.com-15a32a3594bc5f04bf423337c827681b_l3 I. Lois normales    si sa fonction densité est la fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 I. Lois normales    definie sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 I. Lois normales    par Mathplace quicklatex.com-d4f8bc701cb2aaa170b6a57e48433244_l3 I. Lois normales    .

On a alors pour tous réels Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 I. Lois normales    et Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 I. Lois normales    tels que Mathplace quicklatex.com-7bb848559980e984be43f3fadb7a0d33_l3 I. Lois normales

 

Propriété :

Soit Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 I. Lois normales    une variable aléatoire qui suit la loi normale Mathplace quicklatex.com-15a32a3594bc5f04bf423337c827681b_l3 I. Lois normales    , on a:

  • Pour tout réel positif Mathplace quicklatex.com-9f4e47d5f3fed0b09177e8f8e02cd3ef_l3 I. Lois normales    ;
  • Mathplace quicklatex.com-0e461a6229119316882aecda2984602a_l3 I. Lois normales    .

 

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