Sujet Progression:

A. Limite finie

 

Définition :

Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini est définie sur un intervalle de la forme Mathplace quicklatex.com-0860af5a248033305d1e9755f88e3c48_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini et Mathplace quicklatex.com-35175b7a8d3ac57bba01b7920d344d8d_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

On dit que Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini admet pour limite Mathplace quicklatex.com-d9ef2b62e429f142d9d894993bf93ca5_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini quand Mathplace quicklatex.com-9d6ab384c0ddb6881945b2e636195c35_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini lorsque tout intervalle ouvert contenant Mathplace quicklatex.com-d9ef2b62e429f142d9d894993bf93ca5_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini contient tous les Mathplace quicklatex.com-73381617885728060cb9ef28648a1b01_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini dès que Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini est suffisamment grand.

Mathplace quicklatex.com-fc6d459866daadbb69ff5614d76f93e8_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

 

Définition :

Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini est définie sur un intervalle de la forme Mathplace quicklatex.com-2d09adb6630b2421b2d271b9939973dd_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini et Mathplace quicklatex.com-35175b7a8d3ac57bba01b7920d344d8d_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

On dit que Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini admet pour limite Mathplace quicklatex.com-d9ef2b62e429f142d9d894993bf93ca5_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini quand Mathplace quicklatex.com-a84880a160746bc59c5264c831e33426_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini lorsque tout intervalle ouvert contenant Mathplace quicklatex.com-d9ef2b62e429f142d9d894993bf93ca5_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini contient tous les Mathplace quicklatex.com-73381617885728060cb9ef28648a1b01_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini dès que Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini est suffisamment grand dans les négatifs.

Mathplace quicklatex.com-1cef68716a9e2ce466eee06fb984ad4d_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

 

 

Interprétation graphique :

 

Mathplace cours_tleS_limites01-1024x512 I. Limite d'une fonction à l'infini

 

En pratique, tout intervalle contenant  Mathplace quicklatex.com-d9ef2b62e429f142d9d894993bf93ca5_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini peut s’écrire sous la forme Mathplace quicklatex.com-a495d75d666f0baff71e8c7fafcf6c45_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini où Mathplace quicklatex.com-fad011d2f54777e5075845eec860f796_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini ,est un réel strictement positif quelconque, que l’on peut choisir aussi petit que l’on veut.

Graphiquement, on constate que, quelle que soit la valeur de Mathplace quicklatex.com-fad011d2f54777e5075845eec860f796_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini choisie, la courbe représentant Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini se retrouve dans un canal limité par les deux droites Mathplace quicklatex.com-f847093681c4b096ea62e342e6b02098_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini et Mathplace quicklatex.com-2fcc60bf491227be877f50546bddfb4e_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini et pour ne plus en ressortir..

 

Définition

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini une fonction telle que Mathplace quicklatex.com-fc6d459866daadbb69ff5614d76f93e8_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini (ou Mathplace quicklatex.com-1cef68716a9e2ce466eee06fb984ad4d_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini)

La droite d’équation Mathplace quicklatex.com-380444e7db93b2e40f389558094ca733_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini est asymptote horizontale à la courbe Mathplace quicklatex.com-4e6887e384866ead8e4cd4dea11e4eda_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini en Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini (ou en Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini)

 

Mathplace cours_tleS_limites02-1024x520 I. Limite d'une fonction à l'infini

 

 

Limites des fonctions usuelles :

 Mathplace quicklatex.com-f9f016a1b00724fde56241c0df24dcad_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini)

 Mathplace quicklatex.com-8f8e4a0db98d5a35609ec5e39d86ac97_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini)

 Mathplace quicklatex.com-34e4dae4b41dbaa11c9cd7f8b681ef0c_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini)

Et plus généralement,  Mathplace quicklatex.com-762a8a01cccfb40d0fd29e4152f16952_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini où Mathplace quicklatex.com-5bc0cd5c8a79c82ac14a6890fa99c6bf_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

 

 Mathplace quicklatex.com-99e51143c3b58680ef6a2e33a7461977_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini)

 Mathplace quicklatex.com-4af3d30987a3a6ca0cd39ec58d55bbfe_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini)

Et plus généralement,  Mathplace quicklatex.com-e908f7832d9252deb352f4c09e4294c1_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini où Mathplace quicklatex.com-5bc0cd5c8a79c82ac14a6890fa99c6bf_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

 

 

Exemple :

Calculer Mathplace quicklatex.com-a0f13d4360d92da04c7901326920ccce_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini)

 

Ici pour retrouver une forme sympa, on utilise une astuce :

Mathplace quicklatex.com-0e811e9055ffc4c035d347eb985c619d_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

Mathplace quicklatex.com-9b30f39d5d8fb5bc06d4226a7d254fd6_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

Mathplace quicklatex.com-49ad18f7d211300afca1df1eb5de51f9_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

Mathplace quicklatex.com-43996b0555a2c43c1ea3d632db1acb15_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

Mathplace quicklatex.com-c53730475eef2ffd4ba08078cc76c3ff_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

 

or Mathplace quicklatex.com-0fa9775aa6b9a45a4e5d44c03b6046c5_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini)

 

donc  Mathplace quicklatex.com-7a9e4a9aa3ab5bac49803d04ffcc1556_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

 

 

B. Limite en Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

 

Définition :

Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini est définie sur un intervalle de la forme Mathplace quicklatex.com-0860af5a248033305d1e9755f88e3c48_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini.

On dit que Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini admet pour limite Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini quand Mathplace quicklatex.com-9d6ab384c0ddb6881945b2e636195c35_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini lorsque tout intervalle du type Mathplace quicklatex.com-0860af5a248033305d1e9755f88e3c48_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini contient toutes les valeurs de Mathplace quicklatex.com-73381617885728060cb9ef28648a1b01_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini dès que Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini est suffisamment grand.

Mathplace quicklatex.com-947756154711514a1a7de190fc0e10cb_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini.

 

On remarque ici que si Mathplace quicklatex.com-947756154711514a1a7de190fc0e10cb_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini alors Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini n’est pas majorée

 

Définition :

Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini est définie sur un intervalle de la forme Mathplace quicklatex.com-0860af5a248033305d1e9755f88e3c48_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini.

On dit que Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini admet pour limite Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini quand Mathplace quicklatex.com-9d6ab384c0ddb6881945b2e636195c35_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini lorsque tout intervalle du type Mathplace quicklatex.com-7c2d293b691180947759776b2ea8fb3b_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini contient toutes les valeurs de Mathplace quicklatex.com-73381617885728060cb9ef28648a1b01_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini dès que Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini est suffisamment grand.

Mathplace quicklatex.com-a18117b5eb3f46c12f9957af439aa012_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

On remarque ici que si Mathplace quicklatex.com-a18117b5eb3f46c12f9957af439aa012_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini alors Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini n’est pas minorée

 

Remarque :

On peut déduire facilement les définitions équivalentes pour Mathplace quicklatex.com-a84880a160746bc59c5264c831e33426_l3 I. Limite d'une fonction à l'infini

 
 
 

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