A. Définitions
On appelle :
Fonction affine : toute fonction qui, à tout nombre , associe le nombre (c’est-à-dire : ) où et sont deux nombres donnés.
Fonction linéaire de coefficient : toute fonction qui, à tout nombre , associe le nombre (c’est-à-dire : ) où est un nombre donné.
Remarque :
Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine. Dans ce cas,
Exemples :
La fonction f est de la forme avec
Donc est une fonction linéaire.
La fonction g est de la forme avec et
Donc est une fonction affine.
B. Reconnaître une fonction linéaire ou affine à partir de la définition
Les fonctions suivantes représentent-elles des fonctions linéaires ou affines ?
La fonction h n’est :
ni du type
ni du type
La fonction n’est ni une fonction linéaire, ni une fonction affine.
La fonction k définie par peut aussi s’écrire ou encore
On reconnait une fonction de la forme avec et
Donc, est une fonction affine.
C. Image et antécédent
Par une fonction :
- linéaire, l’image de est
- affine, l’image de est
A noter :
Toutes ces phrases suivantes sont équivalentes.
Quand on écrit , on peut dire que :
- l’image de 5 par la fonction est 10,
- a pour image 10 par la fonction ,
- l’antécédent de 10 est 5 par la fonction ,
- a pour antécédent 5 par la fonction .