Sujet Progress:

Définition

On appelle graphe probabilisé : un graphe orienté et pondéré dont la somme des poids des arêtes issues de chaque sommet vaut Mathplace quicklatex.com-2d70fbbeab864d4b5bb1e63100a882f9_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  .

 

Exemple

Le graphe suivant est un graphe probabiliste :

 

Mathplace cours_tleES_graphe_probabiliste-1 I. Graphes probabilistes et matrices de transition

 

On peut voir qu’il s’agit bien d’un graphe orienter et pondéré et que :

  • La somme des poids des arêts issus de Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  est Mathplace quicklatex.com-be0058ce8ef3b82c64b740cfc7b12691_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  .
  • La somme des poids des arêts issus de Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  est Mathplace quicklatex.com-43a93fb1799957285a1a8e7359e2e6cf_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  .

 

Définition

Etat probabiliste d’un système : C’est la loi de probabilité sur l’ensemble des états possibles au cour d’une étape Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  .
Cette loi est représentée par une matrice ligne dont la somme des termes vaut Mathplace quicklatex.com-2d70fbbeab864d4b5bb1e63100a882f9_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  .

 

Exemple

Mathplace quicklatex.com-0c4e4f1072e061b52ddf87394f56b4e4_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  avec Mathplace quicklatex.com-f4f226753d525bf80c88c16c417bf2e2_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  et Mathplace quicklatex.com-548e3d8a943cff277b27e2d0cb46c8dc_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  les probabilités.

Lorsque Mathplace quicklatex.com-70d0fa87b41755845181635b98185194_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  alors on a : Mathplace quicklatex.com-8ebc65c7e3f28daace817d4f75febc7a_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  qui représente l’état probabiliste initial.

 

Définition

Matrice de transition : la matrice de transition d’un graphe probabiliste d’ordre Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  dont les sommets sont numérotés de Mathplace quicklatex.com-2d70fbbeab864d4b5bb1e63100a882f9_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  à Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  est la matrice carrée d’ordre Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  . Où le terme figurant en ligne Mathplace quicklatex.com-8546d0435f9bc47e93db9a9471359da2_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  et colonne Mathplace quicklatex.com-15111c7a0f9b079797d4b66726e45162_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  est égal au poids de l’arête allant de Mathplace quicklatex.com-8546d0435f9bc47e93db9a9471359da2_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  vers Mathplace quicklatex.com-15111c7a0f9b079797d4b66726e45162_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  si cette arête existe ou à Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  sinon.

 

Exemple

Mathplace cours_tleES_graphe_probabiliste-2 I. Graphes probabilistes et matrices de transition

 

La matrice de ce graphe probabiliste es t:

    Mathplace quicklatex.com-72f73f8f998ec804ce0eaa793df5228d_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition

 

Propriété

Si Mathplace quicklatex.com-264d3c381b6b133fb19525ed569a7389_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  est l’état probabiliste à l’étape Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  et Mathplace quicklatex.com-5f38e1a606128023721d5c4ac64c2f65_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  l’état probabiliste initial, alors on a:

    Mathplace quicklatex.com-7e1743507858573386a1f3183f6ecd0a_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition

Mathplace quicklatex.com-2c8c3703bbb3e5afe2853cae9fc4a248_l3 I. Graphes probabilistes et matrices de transition  est la matrice de transition du graphe.

 
 
 sinon.

 

Exemple

Mathplace  I. Graphes probabilistes et matrices de transition