Sujet Progression:

A/ Règles et définitions de base de la géométrie dans l’espace

Propriétés :

  • Par deux points distincts de l’espace Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 I - Généralités et rappels et Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 I - Généralités et rappels, il passe une unique droite, noté Mathplace quicklatex.com-72aeee85b2c0d9ef5d1b7b909e1732f6_l3 I - Généralités et rappels.

   

Mathplace cours_2e_geometrie_espace01-300x216 I - Généralités et rappels

 

  • Par trois points distincts de l’espace Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 I - Généralités et rappels, Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 I - Généralités et rappels et Mathplace quicklatex.com-1d64e1adca4c05a1ba6610735522a738_l3 I - Généralités et rappels, il passe un unique plan, noté Mathplace quicklatex.com-5a492ab66c45d21dacf4967e72b63f19_l3 I - Généralités et rappels.

     

Mathplace cours_2e_geometrie_espace02-300x218 I - Généralités et rappels

 

  • Si deux points distincts Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 I - Généralités et rappels et Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 I - Généralités et rappels de l’espace appartiennent à un plan Mathplace quicklatex.com-f34b0348bab4161a4067abf89c60667d_l3 I - Généralités et rappels, alors la droite Mathplace quicklatex.com-72aeee85b2c0d9ef5d1b7b909e1732f6_l3 I - Généralités et rappels est contenue dans le plan Mathplace quicklatex.com-f34b0348bab4161a4067abf89c60667d_l3 I - Généralités et rappels, c’est à dire que tout point Mathplace quicklatex.com-2c8c3703bbb3e5afe2853cae9fc4a248_l3 I - Généralités et rappels appartenant à la droite est contenu dans le plan Mathplace quicklatex.com-f34b0348bab4161a4067abf89c60667d_l3 I - Généralités et rappels.
  • L’intersection de deux droite est un point.

   

Mathplace cours_2e_geometrie_espace03-300x172 I - Généralités et rappels

 

  • L’intersection de deux plans est une droite.

     

Mathplace cours_2e_geometrie_espace04-300x218 I - Généralités et rappels

 

  • Tous les théorèmes de géométrie plane (Pythagore, Thalès, théorème des milieux etc.) s’appliquent à tous les plans de l’espace.

 

Définitions :

  • Quatre points de l’espaces sont dits coplanaires s’ils appartiennent à un même plan.
  • Deux droites de l’espace sont dites coplanaires si elles sont incluses dans le même plan.

 

Points coplanaires Droites coplanaires
Mathplace cours_2e_geometrie_espace05a-300x165 I - Généralités et rappels Mathplace cours_2e_geometrie_espace05b-300x179 I - Généralités et rappels

 

 

Définition :

On appelle perspective cavalière la représentation des solides dans l’espace qui donne une illusion Mathplace quicklatex.com-8b522cfeba52ad3b3df27e584c9495cc_l3 I - Généralités et rappels. Cette représentation conserve le parallélisme.

 

Mathplace cours_2e_geometrie_espace06-300x285 I - Généralités et rappels

 

Propriétés :

En perspective cavalière :

  • L’alignement des points est conservé.
  • Le milieu d’un segment est représenté par le milieu du segment dessiné.
  • Les arêtes visibles sont représentés en traits pleins alors que celles qui sont cachées derrière un plan sont en pointillés.
  • Sur les plans de face, les angles droits sont respectés et représentés par des droites perpendiculaires. Ce n’est pas le cas pour les autres plans où les angles droits ne sont pas réels sur le papier, mais juste indiqués par un symbole.

Dans la partie qui suit nous présenterons les figures de références qu’il faut savoir reconnaître par leur perpective cavalière.

 

B/ Solides de référence

 

Représentation/Définition Propriétés Formules à connaître
Parallélipipède
 Mathplace cours_2e_geometrie_espace30a-1 I - Généralités et rappels  Faces opposées sont parallèles

Cas particulier :

Cube est un parallélépipède avec des faces carrées

Mathplace quicklatex.com-31296945763e3d861578711ac850d969_l3 I - Généralités et rappels
Pyramide
 Mathplace cours_2e_geometrie_espace30b-1 I - Généralités et rappels Toutes les faces autres que la base sont des triangles

Cas particulier :

Un tétraèdre est une pyramide dont la base est rectangle

Mathplace quicklatex.com-f3eacf325e09dc1355e140085e8751b3_l3 I - Généralités et rappels
Cylindre de révolution
 Mathplace cours_2e_geometrie_espace30d-1 I - Généralités et rappels Mathplace quicklatex.com-78d7567da01b7bff323c24e576893d59_l3 I - Généralités et rappels
Cône de révolution
 Mathplace cours_2e_geometrie_espace30c-1 I - Généralités et rappels Mathplace quicklatex.com-860426d3b5a7ca90cda51bf9ec515154_l3 I - Généralités et rappels
Sphère
 Mathplace cours_2e_geometrie_espace30e-300x295 I - Généralités et rappels

Sphère de centre Mathplace quicklatex.com-63fa0213ef7e99c77018f5822ed64924_l3 I - Généralités et rappels et de rayon Mathplace quicklatex.com-d13a7a61e6b417d58bd57265bf3e21bc_l3 I - Généralités et rappels : Ensemble des points de l’espace situés à une distance Mathplace quicklatex.com-d13a7a61e6b417d58bd57265bf3e21bc_l3 I - Généralités et rappels du point Mathplace quicklatex.com-1d64e1adca4c05a1ba6610735522a738_l3 I - Généralités et rappels

Mathplace quicklatex.com-42658ebf02e34291c3965f5de111a4b4_l3 I - Généralités et rappels

Mathplace quicklatex.com-72c9c26b9f8fc49e6741728f8e98b553_l3 I - Généralités et rappels

 

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