Sujet Progression:

1.1 Uniquement à l’aide des normes

Dans toute la suite, l’espace est muni d’un repère orthonormé direct Mathplace quicklatex.com-9c102e83c21dc8bfb11d9282363f99dd_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    .

Soient Mathplace quicklatex.com-ad0a6d9f5a31336e7a9b39faa9b9403b_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    et Mathplace quicklatex.com-6c22cf293fc81c927a4d204e7681d5ee_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    deux vecteurs de l’espace.

Le produit scalaire de Mathplace quicklatex.com-ad0a6d9f5a31336e7a9b39faa9b9403b_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    et Mathplace quicklatex.com-6c22cf293fc81c927a4d204e7681d5ee_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    note Mathplace quicklatex.com-70b0236111a9b3f7b54885531ef47be3_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    est le reel Mathplace quicklatex.com-fc042f466ccaf2095271e8ba09e75f5e_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire

 

Exemple:

Soient Mathplace quicklatex.com-52e82357764c1b8c5e9d8d2e92b8492d_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    et Mathplace quicklatex.com-1d64e1adca4c05a1ba6610735522a738_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    trois points de l’espace tels que Mathplace quicklatex.com-64424fde6f06d61f3b762533eef63e06_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    et Mathplace quicklatex.com-8f54dc35a3cbbdfdedcda1d99b799732_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    .

Calculer Mathplace quicklatex.com-c373f643d587aad099eeefb196a873e6_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    et Mathplace quicklatex.com-1315a0795d626df4849b96798ecb7836_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    .

 

Solution

(1)   Mathplace quicklatex.com-6cb787122c5f27d18692e739122da00e_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire

(2)   Mathplace quicklatex.com-6f24aa8d690815d915cb19f9000c70c3_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire

 

1.2 Normes et angle des deux vecteurs

Soient Mathplace quicklatex.com-ad0a6d9f5a31336e7a9b39faa9b9403b_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    et Mathplace quicklatex.com-6c22cf293fc81c927a4d204e7681d5ee_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    deux vecteurs de l’espace.

Le produit scalaire de Mathplace quicklatex.com-ad0a6d9f5a31336e7a9b39faa9b9403b_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    et Mathplace quicklatex.com-6c22cf293fc81c927a4d204e7681d5ee_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    est Mathplace quicklatex.com-4defd7ba3bffe3714547496140387ea5_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    .

 

Conséquences immediates

  • Mathplace quicklatex.com-c327a83e4641bfc005f87e80a6f22806_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    si et seulement si les vecteurs Mathplace quicklatex.com-ad0a6d9f5a31336e7a9b39faa9b9403b_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    et Mathplace quicklatex.com-6c22cf293fc81c927a4d204e7681d5ee_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    sont orthogonaux (Mathplace quicklatex.com-1e71cb29ff2c0649d0d53be71e042037_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    ).
  • Mathplace quicklatex.com-fef565fb0e8156b378931209b6444633_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    . On note Mathplace quicklatex.com-850275d9659f8f18270373eb35f41d4d_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    (Mathplace quicklatex.com-629c00d6a2830e737f06fbb1edf42fc9_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    est appele carre scalaire).
  • Si Mathplace quicklatex.com-5e8d627c94b7f0a033be66fb4092361a_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    et Mathplace quicklatex.com-4a4e2d339ad1a0426d79b1788ace0eb2_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    alors Mathplace quicklatex.com-4e5920bd537eb54bd22a34b7ea25fb40_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    .
  • Si Mathplace quicklatex.com-ad0a6d9f5a31336e7a9b39faa9b9403b_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    et Mathplace quicklatex.com-6c22cf293fc81c927a4d204e7681d5ee_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    sont colinéaires de même sens alors Mathplace quicklatex.com-f52efc7d70bb664c485d25274057b071_l3 I. Differentes expressions du produit scalaire    .
  • Si $\vec{u}
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