Sujet Progress:

Soit une suite Mathplace quicklatex.com-b33fc37c92228ca653d4a3bcc88b1c30_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  définie par Mathplace quicklatex.com-294ad0ccb431b6265d50c0b39d8a5145_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  et pour tout entier Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  , Mathplace quicklatex.com-6971184e7fbe8eeb14edeb3dd776f411_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence

Démontrer pour tout entier naturel, Mathplace quicklatex.com-96edd4ec17c9cf537c82181c45b67b9b_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence

 

 

Soit la proposition Mathplace quicklatex.com-0518f200f2689fd843e6c4f2da4b89b1_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  telle que : « Pour entier Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  , on a Mathplace quicklatex.com-96edd4ec17c9cf537c82181c45b67b9b_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  « .

 
Initialisation :

Mathplace quicklatex.com-294ad0ccb431b6265d50c0b39d8a5145_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  , ainsi Mathplace quicklatex.com-60d858a6536c7867bb14d012475e38b2_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  et Mathplace quicklatex.com-13a0af95ef9a8b7a392c2107c00e8946_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  est vraie.

 
Hérédite :

On suppose que Mathplace quicklatex.com-0518f200f2689fd843e6c4f2da4b89b1_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  est vraie.

Mathplace quicklatex.com-96edd4ec17c9cf537c82181c45b67b9b_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  entraine que Mathplace quicklatex.com-83e55d6366e8b4041fa9a704453d31d6_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence

or Mathplace quicklatex.com-6b3c167268be4e572289d754d76ac2d8_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  est une fonction croissante sur Mathplace quicklatex.com-209bf59003cc26a17c4b617ae5467e68_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  :

Mathplace quicklatex.com-b62daac6030290a569127f56bf6fd2e5_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  , soit Mathplace quicklatex.com-0c8a77f5a7f23b5c35fd9eea387695fa_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence

On a donc Mathplace quicklatex.com-b1d0cde9d644b2274aacf2818b68d6af_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence

Ainsi Mathplace quicklatex.com-0518f200f2689fd843e6c4f2da4b89b1_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  implique Mathplace quicklatex.com-3b8b78b9017fcb0e41abc248ce0f7f11_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  est vraie

 
Conclusion :

Pour entier Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence  , on a Mathplace quicklatex.com-96edd4ec17c9cf537c82181c45b67b9b_l3 Exercice 4 : Raisonnement par récurrence