1-a) Montrer que pour tout 
.
b) En déduire que 
.
2- Soit 
a) Vérifier que 
.
b) En déduire que 
.
1- a) On a 
et 
En ajoutant 1 au deux membres de ces inégalites, on obtient que 
et 
soit 
b) Sur 
donc
2- a) Une primitive de 
est 
donc 
= 
b) Comme et pour tout 
donc 
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^{\alpha} 1-t+t^2 dt\Longleftrightarrow [t-\frac{t^2}{2}]_0^{\alpha} \leq \ln(1+\alpha) \leq [t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}]_0^{\alpha}\Longleftrightarrow \alpha-\frac{\alpha^2}{2} \leq \ln (x+1) \leq \alpha-\frac{\alpha^2}{2}+\frac{\alpha^3}{3}$
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