Exercice 3 : lois de probabilité à densité

On considère deux variables aléatoires et suivant toute deux independamment l’une de l’autre la loi uniforme sur .

On va etudier la variable aléatoire définie par .

1- Montrer que prend ses valeurs dans

2- On associe aux variables aléatoires et le point dans un repère orthonormé . On note l’ensemble des points a l’interieur du carré .

Un évènement correspond a un sous ensemble de . On admet que , ce qui correspond a une loi uniforme sur l’ensemble .

a) Représenter et hachurer l’ensemble correspondant a l’évènement . Calculer .

b) Soit un nombre réel tel que , Déterminer .

3-

a) Hachurer l’ensemble correspondant a l’évènement . Montrer que . En deduire .

b) Soit un nombre réel tel que , montrer que .