Exercice 3 : Etude d’une fonction

On considère la fonction définie sur par . On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Etudier les limites de en 0 et en ; puis en déduire deux asymptotes à la courbe .

2. Etudier les variations de et dresser son tableau de variation.

3. Déterminer les coordonnées du point A, intersection de avec l’axe des abscisses.

4. Tracer .

1.

2. La fonction est dérivable sur et

\begin{align*}
g'(x) &= \frac{ \frac{1}{x}(\sqrt{x}) – \frac{1}{2\sqrt{x}}(1+\ln x) }{x} = \frac{ \frac{\sqrt{x}}{x} – \frac{\sqrt{x}}{2x}(1+\ln x) }{x} \\
&= \frac{ \frac{\sqrt{x}}{x} (1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln x) }{x} = \frac{ \sqrt{x}(\frac{1}{2} – \frac{1}{2} \ln x) }{x^2}