Sujet Progression:

 

Dans un récipient de forme cylindrique de rayon 4 Mathplace quicklatex.com-b037166550d38036458b95d9e5059d9d_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère, on place une première boule Mathplace quicklatex.com-3b5a2000c7e7bc30c7fbaedf3bc6e177_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère de rayon 2Mathplace quicklatex.com-b037166550d38036458b95d9e5059d9d_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère. On verse en suite de l’eau jusqu’à recouvrir exactement cette boule; On dit que la surface de l’eau est tangente à la boule. On retire la boule Mathplace quicklatex.com-3b5a2000c7e7bc30c7fbaedf3bc6e177_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère sans modifier le volume d’eau. On la remplace par une autre boule Mathplace quicklatex.com-c40d471a5954521644adf8c19caa5b40_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère, de rayon inconnu Mathplace quicklatex.com-73eb9e3f6baa2f82a66083373f6e42bd_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère, différent de celui de Mathplace quicklatex.com-3b5a2000c7e7bc30c7fbaedf3bc6e177_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère. On s’appercoit que le niveau de l’eau est encore tangent à la boule. Le but de ce problème est de trouver le rayon Mathplace quicklatex.com-fad011d2f54777e5075845eec860f796_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère.

a. Calculer le volume d’eau versé Mathplace quicklatex.com-894f11318cd17a75557a43a9e418584e_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère lorsqu’il y avait la boule Mathplace quicklatex.com-3b5a2000c7e7bc30c7fbaedf3bc6e177_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère, exprimée en Mathplace quicklatex.com-a3a6fae6904a964310b4587dfd8318e3_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère.

b. Calculer le volume << boule Mathplace quicklatex.com-c40d471a5954521644adf8c19caa5b40_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère + eau >> de deux facons différentes.

c. En déduire que Mathplace quicklatex.com-fad011d2f54777e5075845eec860f796_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère doit être solution de l’équation :

(1)   Mathplace quicklatex.com-7319aebc6e3b2985a771f3d610e349a2_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère

d. On connait déja une solution de cette équation. Laquelle ? et pourquoi ? Vérifier ce résultat par calcul.

e. Montrer que Mathplace quicklatex.com-cfef997ed25b77dcb06217fe73fe3049_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère.

f. écrire Mathplace quicklatex.com-5dc0aaad73127f910e393592411aa353_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère sous la forme Mathplace quicklatex.com-fb965214f50bf146b778d856f089c861_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère, où Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère et Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère sont des réels à déterminer.

g. Finir la résolution et conclure.

 

 

 

 

a.
Le volume d’eau versé Mathplace quicklatex.com-894f11318cd17a75557a43a9e418584e_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère est celui d’un cylindre de hauteur Mathplace quicklatex.com-d8c83a567c1372e5f2c4003db2c5f4de_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère Mathplace quicklatex.com-b037166550d38036458b95d9e5059d9d_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère et de rayon Mathplace quicklatex.com-d8c83a567c1372e5f2c4003db2c5f4de_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère Mathplace quicklatex.com-b037166550d38036458b95d9e5059d9d_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère, duquel on soustrait le volume d’une boule de rayon Mathplace quicklatex.com-d37f3197634f18036a476eb127c27315_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère Mathplace quicklatex.com-b037166550d38036458b95d9e5059d9d_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère.

On obtient : Mathplace quicklatex.com-67b9550f45c48169217966adef4be718_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère Mathplace quicklatex.com-a3a6fae6904a964310b4587dfd8318e3_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère

 

b. Globalement, ce volume est celui d’un cylindre de hauteur Mathplace quicklatex.com-ab956a9ccb82108f51e496b37d798093_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère, c’est – à – dire : Mathplace quicklatex.com-6a4a77a85dc2b6d07f1ff780dbb6833f_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère.

En séparant les volumes de la boule et de l’eau, ce volume s’écrit : Mathplace quicklatex.com-1634ccf0b9a78d1100a35fb98753fc77_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère.

 

c. On obtient l’équation :

    Mathplace quicklatex.com-26f1729a77193d77ee1e4dfb6b8fc1ea_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère

 

d. 2 est solution de cette équation; Ce nombre correspond au rayon de la boule. On obtient Mathplace quicklatex.com-2f62eb553ce7a01b767fcd7ec0851ee8_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère

 

e. Mathplace quicklatex.com-fc3acb4c852e6a893c60fce0be9c786d_l3 Exercice 10 : rayon d’un sphère.

 

f. D’après une identité remarqua

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