Sujet Progression:

 

Mathplace cours_Tlees_primitive_integrale01 Exercice 10

 

Sur la figure ci-dessus sont representées les courbes de fonctions Mathplace quicklatex.com-c1eb443336eee974be0819c680ca215d_l3 Exercice 10    et Mathplace quicklatex.com-f644d445625c960413c1ffc82a68319c_l3 Exercice 10    (Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 Exercice 10    et Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 Exercice 10    respectivement). Ces courbes partagent le carré Mathplace quicklatex.com-e6e5b9bf6cd96c15fd0adf27ce3cb032_l3 Exercice 10    en trois domaines Mathplace quicklatex.com-19f92a9b81921a4419af8720bfb1f54b_l3 Exercice 10    et Mathplace quicklatex.com-23511d044b6e5f579c8ed602176fabfd_l3 Exercice 10    .

1- Calculer l’aire de Mathplace quicklatex.com-e153b4636d729c3aac5168afef428dcb_l3 Exercice 10    . En déduire celle de Mathplace quicklatex.com-b80012f84cb81c41571c20cf3587de2c_l3 Exercice 10    et celle de Mathplace quicklatex.com-23511d044b6e5f579c8ed602176fabfd_l3 Exercice 10    .

2- Ecrire l’aire de Mathplace quicklatex.com-b80012f84cb81c41571c20cf3587de2c_l3 Exercice 10    et Mathplace quicklatex.com-23511d044b6e5f579c8ed602176fabfd_l3 Exercice 10    en termes d’intégrales.

3- Quelle est la valeur de Mathplace quicklatex.com-510c13e1835e4ac4316190cabfbd6c3b_l3 Exercice 10

 

 

 

 

1- Comme sur Mathplace quicklatex.com-d538647674cd368cf120855dd0182518_l3 Exercice 10    , l’aire de Mathplace quicklatex.com-46a2e375656dbd67b19bfb1230e6282a_l3 Exercice 10    en unité d’aire vaut Mathplace quicklatex.com-1df6c64841f264da16cbea57b3f5430e_l3 Exercice 10

La courbe représentative de Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 Exercice 10    vaut est l’image de celle de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 Exercice 10    dans la symetrie axiale d’axe la première bissectrice des axes, c’est-a-dire la droite d’équation Mathplace quicklatex.com-821a153a219345ab918a81d7b92def16_l3 Exercice 10    . L’aire de Mathplace quicklatex.com-b80012f84cb81c41571c20cf3587de2c_l3 Exercice 10    en unité d’aire est donc la même que celle de Mathplace quicklatex.com-e153b4636d729c3aac5168afef428dcb_l3 Exercice 10    .

L’aire de Mathplace quicklatex.com-23511d044b6e5f579c8ed602176fabfd_l3 Exercice 10    est égale a l’aire du carré Mathplace quicklatex.com-1944c49b255a8fd20e27b4002fb0e5e4_l3 Exercice 10    a laquelle on eleve les aires des domaines Mathplace quicklatex.com-e153b4636d729c3aac5168afef428dcb_l3 Exercice 10    et Mathplace quicklatex.com-b80012f84cb81c41571c20cf3587de2c_l3 Exercice 10    . Soit une aire pour Mathplace quicklatex.com-23511d044b6e5f579c8ed602176fabfd_l3 Exercice 10    et Mathplace quicklatex.com-707f88cf825c429c1814f5f41324f92d_l3 Exercice 10    d’unités d’aire.

 

2- a) L’aire de Mathplace quicklatex.com-23511d044b6e5f579c8ed602176fabfd_l3 Exercice 10    est l’aire de la region du plan contenant les points Mathplace quicklatex.com-2735c90fc40e1edf8d86183abe543b2b_l3 Exercice 10    verifiant Mathplace quicklatex.com-feeea17cc15b3b3ff2f25cd0dc68aae3_l3 Exercice 10    et Mathplace quicklatex.com-1735e4c4af3139b0d3a7d6d6977149bb_l3 Exercice 10

Ceci en unité d’aire vaut Mathplace quicklatex.com-558a79e9280303d8e2b1e2b03a3fc48e_l3 Exercice 10    .

L’aire de Mathplace quicklatex.com-b80012f84cb81c41571c20cf3587de2c_l3 Exercice 10    est l’aire de la region du plan délimitée par la droite d’équation Mathplace quicklatex.com-8b9c82c6b6759cd56bc09a083edfe0a4_l3 Exercice 10    , la courbe d’équation Mathplace quicklatex.com-4b445ed2f62da558a613af5657383861_l3 Exercice 10    et les droites d’équations Mathplace quicklatex.com-aa74c5df3bb5aeda6ba26632740a390a_l3 Exercice 10    et Mathplace quicklatex.com-134161322f830615cd788e142cce1373_l3 Exercice 10    . Elle est eqale, en unités d’aire à
Mathplace quicklatex.com-1d6ae6b3c5943e8b0e47ab2f5901dda3_l3 Exercice 10    par Linéarité.

 

b) On a donc l’égalite Mathplace quicklatex.com-6738b536b7a4794e017712d237f442b6_l3 Exercice 10

Comme Mathplace quicklatex.com-c8ec91f4980245f22566559816f0e6de_l3 Exercice 10    , on obtient que $\int_0^1 \sqrt{x}dx = 1-\frac{1}{3} = \frac

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