Sujet Progression:

 

On admet que la fonction Cube est strictement croissante sur Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 Exercice 1 : Etude de fonction.

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 Exercice 1 : Etude de fonction la fonction définie sur Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 Exercice 1 : Etude de fonction par  Mathplace quicklatex.com-67cb2d36193fdcedde8a230b338407f9_l3 Exercice 1 : Etude de fonction

1. Montrer que l’équation Mathplace quicklatex.com-6b0dfa023ad11025b191a6e7144d91c1_l3 Exercice 1 : Etude de fonction admet une solution entière.

2. Montrer que Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 Exercice 1 : Etude de fonction est strictement croissante sur  Mathplace quicklatex.com-0eaf9fe83137d22f5cc0cd84525a9db9_l3 Exercice 1 : Etude de fonction

3. En déduire le signe de  Mathplace quicklatex.com-73381617885728060cb9ef28648a1b01_l3 Exercice 1 : Etude de fonction selon les valeurs de  Mathplace quicklatex.com-2b63992092868ea40c9542a472648545_l3 Exercice 1 : Etude de fonction

 

 

Solution

1. Mathplace quicklatex.com-83695560d8ec7c8c07314deef1235175_l3 Exercice 1 : Etude de fonction

Donc l’équationMathplace quicklatex.com-7baf754814602335d2b3d154ef44c962_l3 Exercice 1 : Etude de fonction admet une solution entière qui est Mathplace quicklatex.com-707119b85701d1f6587011fbc8d84115_l3 Exercice 1 : Etude de fonction.

 

2. La fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 Exercice 1 : Etude de fonction est la somme de la fonction cube et de la fonction affine Mathplace quicklatex.com-ef94588e7df442cc1ca324eb4c962c57_l3 Exercice 1 : Etude de fonction. Cette fonction affine ayant pour coefficient Mathplace quicklatex.com-2d70fbbeab864d4b5bb1e63100a882f9_l3 Exercice 1 : Etude de fonction qui est positif ; elle est strictement croissante sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 Exercice 1 : Etude de fonction.

Ainsi la fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 Exercice 1 : Etude de fonction est la somme de deux fonction strictement croissante sur Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 Exercice 1 : Etude de fonction et par conséquent Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 Exercice 1 : Etude de fonction est strictement croissante sur Mathplace quicklatex.com-0eaf9fe83137d22f5cc0cd84525a9db9_l3 Exercice 1 : Etude de fonction

 

3. Mathplace quicklatex.com-543745498ca7b4bd53288b181c883bee_l3 Exercice 1 : Etude de fonction est strictement croissante sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 Exercice 1 : Etude de fonction et s’annule en Mathplace quicklatex.com-707119b85701d1f6587011fbc8d84115_l3 Exercice 1 : Etude de fonction.

 

On a le tableau de signe suivant :

 

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