4. Opérations sur les suites

A – Limites d’une somme

 

Théorème :

Soient et , deux suites ayant des limites finies.

Si   et  

Alors la suite   a pour limite

 

Exemple :

La suite définie pour tout entier , 

Calculer 

 

On peut écrire :

  et  

Donc, 

 

En conclusion, 

 

 

Voici un tableau de résultats conformes à l’intuition, regroupant les divers cas possibles :

 

		?

 

 

Théorème :

Soient  et , deux suites telles que :

• 
• est minorée

Alors  a pour limite

 

Exemple :

,  et , trois suites telles que :

,  et 

 car  et 

 

On a monté dans l’exemple illustrant le théorème de convergence monotone que 

 

D’après les théorèmes précédents :

,  et 

 

Par contre, on ne peut pas conclure sur une éventuelle limite de

 

 

B – Limite d’un produit de deux suites

 

ou	0	?

 

 

Application :

On considère la suite polynomiale : (avec ,, 3 réels) :

 

Si et , le théorème de la limite d’une somme de suite nous permet de conclure :

et , donc

 

Si ou , dans ce cas, il est impossible de conclure

 

 

Exemple :

Pour tout entier naturel ,

et

Il n’est pas possible de conclure.

 

Dans ce cas de figure,

Pour tout ,   ,

or , (quelque soit le signe de et ) et (quelque soit le signe de et )

Donc,

 

On peut conclure :

si a>0

si a<0

 

Ce qu’il faut retenir :

C’est le signe du coefficient de la puissance la plus élevée qui détermine la limite d’une suite polynomiale.

 

Si on prend le même exemple :

 

D’après la propriété précédente,