Sujet Progression:

A. Introduction au module d’un nombre complexe

Soit Mathplace quicklatex.com-2c8c3703bbb3e5afe2853cae9fc4a248_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    d’affixe Mathplace quicklatex.com-0bea713043ea79670a7fb1a08085614b_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    dans le répère Mathplace quicklatex.com-60dd9d9da26e7cafccd2a15caaa225d9_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

 

Mathplace cours_tleS_nombre_complexe02-1024x635 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

 

Mathplace quicklatex.com-59f52931f1d57df811ae4c21a5401c98_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    et Mathplace quicklatex.com-8c015649d1787a4f7fcb8d37cdedf3bc_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

 

On a donc :

Mathplace quicklatex.com-183953f6dab9583653da5117f514a46c_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    avec Mathplace quicklatex.com-7992fbbef764550da1c5196065b7925f_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Mathplace quicklatex.com-f8e52f2ad7a0eac17e9d4a2302d9f99a_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    avec Mathplace quicklatex.com-7992fbbef764550da1c5196065b7925f_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Avec pythagore, Mathplace quicklatex.com-6305c3bbce780ca2c58ac71120065f71_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    , donc Mathplace quicklatex.com-6289b97c4894acf5bdec0be9399c5c08_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    et ainsi Mathplace quicklatex.com-114ea661e97bbb56acfe4588e1ebd74e_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

On déduit que :

Mathplace quicklatex.com-2850880f68141d352841b79bf35cf253_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    et Mathplace quicklatex.com-031991c099e8c7ca9813b018c4e25fea_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

et donc, Mathplace quicklatex.com-60052ba53dd982ce833a4b3e3a19f247_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

 

 

B. Définition et propriétés

Définition :

Le plan est muni d’un repère orthonormal Mathplace quicklatex.com-60dd9d9da26e7cafccd2a15caaa225d9_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Soit Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    un nombre complexe non nul, affixe d’un point Mathplace quicklatex.com-2c8c3703bbb3e5afe2853cae9fc4a248_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    .

L’écriture trigonométrique de Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    est Mathplace quicklatex.com-2008820fde50d5405ec8d04742c4e7cc_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    avec Mathplace quicklatex.com-114ea661e97bbb56acfe4588e1ebd74e_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Avec Mathplace quicklatex.com-6289b97c4894acf5bdec0be9399c5c08_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    et Mathplace quicklatex.com-8c015649d1787a4f7fcb8d37cdedf3bc_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Mathplace quicklatex.com-c6cd39806898cac8435b897cbb93517d_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    sont les coordonnées polaires de M 

Mathplace quicklatex.com-c44635fdfe20da02ea89016d7d95bd18_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    se nomme « le module de z » et se note Mathplace quicklatex.com-615200e66f0418633182def6b83e1160_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Mathplace quicklatex.com-ea8e0ff52b42a9789a22ea911ff9e652_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    se nomme « argument de z » et se note Mathplace quicklatex.com-453b632eb648e1be341f735c596c5a14_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

 

Exemple :

Donner la forme trigonométrique du complexe Mathplace quicklatex.com-7d487bd50b373d5d102b69a690e97694_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

 

 

Propriétés :

Pour tout nombre complexe Mathplace quicklatex.com-4c94d75f097ff78a7553f20e6fa38935_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    non nul,, on a :

Mathplace quicklatex.com-979cb3558336cfd255d3c74f99d812b9_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Mathplace quicklatex.com-70cdb36e5b9ef32f521151c906a6503b_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Mathplace quicklatex.com-d30a7f952507b1bbd12090e0afd4de2d_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Mathplace quicklatex.com-939601d45de28106793bf4c4d72a9998_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Mathplace quicklatex.com-ec7af857afd61edaf3354385a358c7f1_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Mathplace quicklatex.com-cbe3be6bda33d8b6b1f7f3d4f668aa0e_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

 

 

Propriétés :

Pour tous nombres complexes Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    et Mathplace quicklatex.com-9d646e42df3e3dff2238db96469e4e85_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    , on a :

Mathplace quicklatex.com-ef444fbe8aec02674c001e614caf0793_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Mathplace quicklatex.com-d0e0a565b8bc9df9e810114185dfee2e_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    pour tout entier naturel n

Pour Mathplace quicklatex.com-d59c89d9933247bdaa9f8d2aceb33274_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe     Mathplace quicklatex.com-0f21dd667cf7219a2a779fd37e344067_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Pour Mathplace quicklatex.com-d59c89d9933247bdaa9f8d2aceb33274_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe     Mathplace quicklatex.com-6f352578798485252027ce89450cfbde_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Mathplace quicklatex.com-29076d17ed9aa8e3a923a490dd95c41a_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

 

 

C. Module, argument et géométrie

Propriété :

Le plan est muni d’un repère orthonormal Mathplace quicklatex.com-60dd9d9da26e7cafccd2a15caaa225d9_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Soient Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    et Mathplace quicklatex.com-9d646e42df3e3dff2238db96469e4e85_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    des nombres complexes non nuls, affixes des points Mathplace quicklatex.com-2c8c3703bbb3e5afe2853cae9fc4a248_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    et Mathplace quicklatex.com-47a9a04ba22d96405574ec8dd32ef94c_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    . On a alors :

Mathplace quicklatex.com-dc664c4c57d2317aa3840d2e584afbc6_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

 

Exemple :

On a les nombres complexes Mathplace quicklatex.com-7d487bd50b373d5d102b69a690e97694_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    et Mathplace quicklatex.com-d39bb6f6dad91eccf963b798cdb9110b_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe     dans le repère Mathplace quicklatex.com-60dd9d9da26e7cafccd2a15caaa225d9_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

Calculer Mathplace quicklatex.com-a2a0fe8e4aaa58541f31d5906d809df5_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    et Mathplace quicklatex.com-b2d6147d40cf73480fbb73dc49aeb47b_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe    , puis Mathplace quicklatex.com-d84cb8abe3fb6904bee49b0886d9d3af_l3 4. Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe

 

 

 
 

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