A. Introduction au module d’un nombre complexe
Soit d’affixe dans le répère
et
On a donc :
avec
avec
Avec pythagore, , donc et ainsi
On déduit que :
et
et donc,
B. Définition et propriétés
Définition :
Le plan est muni d’un repère orthonormal
Soit un nombre complexe non nul, affixe d’un point .
L’écriture trigonométrique de est avec
Avec et
sont les coordonnées polaires de M
se nomme « le module de z » et se note
se nomme « argument de z » et se note
Exemple :
Donner la forme trigonométrique du complexe
Propriétés :
Pour tout nombre complexe non nul,, on a :
Propriétés :
Pour tous nombres complexes et , on a :
pour tout entier naturel n
Pour
Pour
C. Module, argument et géométrie
Propriété :
Le plan est muni d’un repère orthonormal
Soient et des nombres complexes non nuls, affixes des points et . On a alors :
Exemple :
On a les nombres complexes et dans le repère
Calculer et , puis