Sujet Progression:

Théorème :

Si Mathplace quicklatex.com-0e4fc50a68c8f0b8872378196e0c9dd5_l3 4. Dérivé de e^u    est une fonction dérivable sur un intervalle Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 4. Dérivé de e^u    , alors la fonction Mathplace quicklatex.com-a9624e5cd0ed29862886e9f9799f4afa_l3 4. Dérivé de e^u     est dérivable sur Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 4. Dérivé de e^u    et : Mathplace quicklatex.com-a1609eed3d53d4e110895492aa990515_l3 4. Dérivé de e^u

 

 

Démonstration  :

Pour démontrer ce théorème, on utilise le taux d’accroissement,

Soit Mathplace quicklatex.com-f1485f3be214be7bfed93497d0e56eec_l3 4. Dérivé de e^u

Pour Mathplace quicklatex.com-6d0f25e19e88c299419589534e1dc70d_l3 4. Dérivé de e^u    , on a :

Mathplace quicklatex.com-4e300026d485cbb045ae6a981f3788f4_l3 4. Dérivé de e^u    (en supposant que Mathplace quicklatex.com-083b6b77696b91af0c94cd1749b0ae54_l3 4. Dérivé de e^u    )

 

Mathplace quicklatex.com-0e4fc50a68c8f0b8872378196e0c9dd5_l3 4. Dérivé de e^u    est dérivable en Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 4. Dérivé de e^u    donc, on a : 

Mathplace quicklatex.com-ab56c4750ff9641da8aeccf1326b89fb_l3 4. Dérivé de e^u

 

On pose Mathplace quicklatex.com-0d5ccdc7ebd2ce5521758931248e05ba_l3 4. Dérivé de e^u

Or Mathplace quicklatex.com-0e4fc50a68c8f0b8872378196e0c9dd5_l3 4. Dérivé de e^u    est continue en Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 4. Dérivé de e^u    car dérivable en Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 4. Dérivé de e^u    , d’où Mathplace quicklatex.com-a5626a059fe19c7e897835218369d8ca_l3 4. Dérivé de e^u

 

Soit Mathplace quicklatex.com-9a91a95404489e8e99c4464845351028_l3 4. Dérivé de e^u    et donc Mathplace quicklatex.com-169f05940c3c56a8eae8956c0add6eb0_l3 4. Dérivé de e^u

En prenant Mathplace quicklatex.com-0d5ccdc7ebd2ce5521758931248e05ba_l3 4. Dérivé de e^u    soit Mathplace quicklatex.com-31059aa721be41912320b69f4de33e9b_l3 4. Dérivé de e^u    , on obtient :

Mathplace quicklatex.com-d8e3e99a07796f7620d8e63ec788d498_l3 4. Dérivé de e^u    (en utilisant la limite du taux d’accroissement en Mathplace quicklatex.com-7649be415bc21baccfbfee46ffeb6c9e_l3 4. Dérivé de e^u    de la fonction exponentielle).

 

En faisant le produit des limites, on obtient :

Mathplace quicklatex.com-c696eb33fbee456d5d8c32bbd07404c8_l3 4. Dérivé de e^u

Donc Mathplace quicklatex.com-dc14537a5897c0de42fdc594cee66278_l3 4. Dérivé de e^u

 

Exemple :

Pour Mathplace quicklatex.com-4b27b99dd951f93ba36373d83522d448_l3 4. Dérivé de e^u    , on a Mathplace quicklatex.com-9a5fcbe4b7638fb838ac5a8a416133a9_l3 4. Dérivé de e^u

Et Mathplace quicklatex.com-601859e6b92ab7cbb24028b00b65bb6d_l3 4. Dérivé de e^u    , on a Mathplace quicklatex.com-30870ced12352981b07c85633335bea1_l3 4. Dérivé de e^u

 

Propriété :

Pour tout réel Mathplace quicklatex.com-5b81893a690e88727ab0a3e9ec919081_l3 4. Dérivé de e^u    , l’équation Mathplace quicklatex.com-be3cf469b43a799eadb74ea6ef7d7e37_l3 4. Dérivé de e^u    admet une solution unique dans Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 4. Dérivé de e^u

Pour tout Mathplace quicklatex.com-df52208899fa76d8f64d2e99aed924d3_l3 4. Dérivé de e^u

Pour tout Mathplace quicklatex.com-1d16eb1c3f214a88f39cf1e5c736b0b5_l3 4. Dérivé de e^u

Pour tout réel Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 4. Dérivé de e^u    , Mathplace quicklatex.com-7f4d46f881d4aac68cdf49d3e7a7288f_l3 4. Dérivé de e^u

Pour tout réel Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 4. Dérivé de e^u    , Mathplace quicklatex.com-06f2ffbab03f6bcaadf1f05433bf0451_l3 4. Dérivé de e^u

 

Exemple :

Résoudre dans Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 4. Dérivé de e^u     l’équation : Mathplace quicklatex.com-f948870f1b9bfa370f930282b3b3e1ea_l3 4. Dérivé de e^u

 

Mathplace quicklatex.com-3d072d3b4a1aa4d95819d5cf7377805d_l3 4. Dérivé de e^u

Mathplace quicklatex.com-eba75e949d4564d0915f3f1014b2aa9d_l3 4. Dérivé de e^u

Mathplace quicklatex.com-19461c5c18b6523bb7539db963b0986c_l3 4. Dérivé de e^u

 

Exemple :

Résoudre dans Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 4. Dérivé de e^u     l’inéquation : Mathplace quicklatex.com-549f0e18d67daa847e0d036c3636b88a_l3 4. Dérivé de e^u    \)

 

Mathplace quicklatex.com-1ca76566f0ef36ab4631d2fd438354bc_l3 4. Dérivé de e^u    étant strictement croissante sur Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 4. Dérivé de e^u

Mathplace quicklatex.com-6b283806a99941573714b75f3d722cc6_l3 4. Dérivé de e^u    \)

Mathplace quicklatex.com-d4f3c2bd5bf0531ef3ffcb6852c4b23a_l3 4. Dérivé de e^u

Mathplace quicklatex.com-2c5956a3cb6675398450a8264912392e_l3 4. Dérivé de e^u    ,

Le trinôme garde un signe constant égal au coefficient du plus haut degré. Donc ici Mathplace quicklatex.com-2d70fbbeab864d4b5bb1e63100a882f9_l3 4. Dérivé de e^u    et donc l’inéquation est toujours strictement positif.

 

L’ensemble des solutions est donc Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 4. Dérivé de e^u    .

 
 
 

Pas encore inscrit ?.

Inscrivez-vous dès maintenant !

Et accédez à tous les cours, exercices gratuitement et bénéficier de l'offre d'aide aux devoirs.
S'INSCRIRE
close-link