Théorème :
Si 
est une fonction dérivable sur un intervalle 
, alors la fonction 
est dérivable sur et : 
Démonstration :
Pour démontrer ce théorème, on utilise le taux d’accroissement,
Soit 
Pour 
, on a :
(en supposant que 
)
est dérivable en 
donc, on a :
On pose 
Or est continue en car dérivable en , d’où 
Soit 
et donc 
En prenant soit 
, on obtient :
(en utilisant la limite du taux d’accroissement en 
de la fonction exponentielle).
En faisant le produit des limites, on obtient :
Donc 
Exemple :
Pour 
, on a 
Et 
, on a 
Propriété :
Pour tout réel 
, l’équation 
admet une solution unique dans 
Pour tout 
Pour tout 
Pour tout réel 
, 
Pour tout réel , 
Exemple :
Résoudre dans 
l’équation : 
Exemple :
Résoudre dans l’inéquation : 
\)
étant strictement croissante sur
\)
,
Le trinôme garde un signe constant égal au coefficient du plus haut degré. Donc ici 
et donc l’inéquation est toujours strictement positif.
L’ensemble des solutions est donc .
