4. Dérivé de e^u

Théorème :

Si est une fonction dérivable sur un intervalle , alors la fonction  est dérivable sur et :

 

 

Démonstration  :

Pour démontrer ce théorème, on utilise le taux d’accroissement,

Soit

Pour , on a :

(en supposant que )

 

est dérivable en donc, on a : 

 

On pose 

Or est continue en car dérivable en , d’où 

 

Soit  et donc 

En prenant  soit , on obtient :

(en utilisant la limite du taux d’accroissement en de la fonction exponentielle).

 

En faisant le produit des limites, on obtient :

Donc 

 

Exemple :

Pour , on a 

Et , on a 

 

Propriété :

Pour tout réel , l’équation admet une solution unique dans

Pour tout

Pour tout

Pour tout réel ,

Pour tout réel ,

 

Exemple :

Résoudre dans  l’équation :

 

 

Exemple :

Résoudre dans  l’inéquation : \)

 

étant strictement croissante sur 

\)

,

Le trinôme garde un signe constant égal au coefficient du plus haut degré. Donc ici et donc l’inéquation est toujours strictement positif.

 

L’ensemble des solutions est donc .