Sujet Progression:

A – Extension de la définition

Définition :

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    une fonction continue sur un intervalle I et Mathplace quicklatex.com-0bfd7d75be26a84f2f1a7ba0899c71f8_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    deux nombres réels de I. Soit Mathplace quicklatex.com-80e0b2a0583851357ecaf3f410b1e082_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    une des primitives de la fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    sur I. On appelle « intégrale de a à b de la fonction f » le nombre Mathplace quicklatex.com-e4d76700a828989cffce78806db264b7_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    et on note :

Mathplace quicklatex.com-f2ad39f03bc8de571a6f1d6fa0566869_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

 

Remarques :

  • On rappelle que la fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    possède une infinité de primitives sur I, mais que la différence F(b )?F(a ) ne dépend pas de la primitive choisie.
  • La différence F (b )?F (a ) est souvent notée Mathplace quicklatex.com-6fbc4beea8d9c551ace36ecb1a5bc087_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque     , ce qui se lit « F(t ) pris entre a et b »

 

Exemple :

Calculer Mathplace quicklatex.com-a2c3e419eaad2840d115cbea1ae7e0a8_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Soit Mathplace quicklatex.com-b5d821e9ded23ee34a50a3729d39263c_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

une des primitive de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    est la fonction Mathplace quicklatex.com-2d35dcd6fb06b80eb196634bcd9e3182_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Mathplace quicklatex.com-9967d29f35e6a8084c194fad01ff549b_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

 

 

Exemple :

Calculer Mathplace quicklatex.com-8032bc98994cf31c19c5a6ead94a06cc_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Mathplace quicklatex.com-34e298f7c5aebdcdffe79871b7283fcb_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

 

 

Théorème :

Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    est une fonction continue sur Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    et Mathplace quicklatex.com-5cb5e5eb41ae49eacfc4af26b25d6b53_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    . La fonction Mathplace quicklatex.com-1b97a46a263cc5d34acc655b3c2bedcf_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque     est l’unique primitive de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    sur Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    s’annulant en Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    .

 

Ce théorème est admis

 

 

B – Propriétés

Propriété 1 : Relation de Chasles

Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    est une fonction continue sur I et Mathplace quicklatex.com-c57b25694c78fcd269fe4ac4ba395713_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    , sont des nombres de I.

Mathplace quicklatex.com-1a0914c0d45c015a355b7b1045276cd2_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

 

Propriété 2 : Linéarité

Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    et  Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    sont continues sur I et Mathplace quicklatex.com-715099415e537568deca197a0cdcfc4e_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    , sont des nombres de I, et Mathplace quicklatex.com-880ec5fd08bd6bb23cb23e3fe21aaad5_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Mathplace quicklatex.com-c20e594faa84e782cd4efc055d5aded0_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

 

Propriété 3 : Positivité

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    est une fonction continue et positive sur l’intervalle I. Pour tous nombres a et b de l’intervalle I tels que Mathplace quicklatex.com-902e9cb1b9e1ddb5eecc3f9324a50a83_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    , alors : Mathplace quicklatex.com-ffcc1b0e4ba7bdf26d14201580e2c2c6_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

 

Propriété 4 : Conservation de l’ordre

Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    et  Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    sont continues sur I et telles que Mathplace quicklatex.com-d2badac970070ea30aef1dedf0e6e726_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    . Soit Mathplace quicklatex.com-715099415e537568deca197a0cdcfc4e_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    , sont des nombres de I, telles que Mathplace quicklatex.com-902e9cb1b9e1ddb5eecc3f9324a50a83_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque    , alors 

Mathplace quicklatex.com-c83f9b6eb5c8df14077274a4d672ab35_l3 3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

 
 
 

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