Sujet Progression:

Définition :

Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur Mathplace quicklatex.com-a912189fc118cd8f2963788bdb2f5381_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    par :

Mathplace quicklatex.com-213568f4285bc200c96a499197889d40_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    où Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    et Mathplace quicklatex.com-897b1a907e258fe11fc06917581a0cc2_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    sont des réels appelés coefficients et Mathplace quicklatex.com-bf7b7fd5b776db5ce670fb4c927684b3_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    .

Sa courbe représentative est une parabole.

 

Remarque :

La fonction carré vue précédemment est un polynôme du second degré avec Mathplace quicklatex.com-555ac74a699db9e44fb9954e08bd2442_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    et Mathplace quicklatex.com-38b3f57f7c54bc12eb37abf6206d9198_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    .

 

Définition :

On appelle sommet de la parabole le point S correspondant à l’extrémum de la courbe.

 

Mathplace fardeena12-1024x600 3. Fonctions polynômes du second degré

 

Propriété :

Toute fonction polynôme du second degré définie sur ? par Mathplace quicklatex.com-213568f4285bc200c96a499197889d40_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    peut s’écrire de la forme :

Mathplace quicklatex.com-a7761c53710754f2de9391606096fec9_l3 3. Fonctions polynômes du second degré

avec Mathplace quicklatex.com-66564a9577ebfc9673b352fbb1870001_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    et Mathplace quicklatex.com-367faecf040a606d0b57f1a965d7915c_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    .

Cette écriture est appelée forme canonique.

Mathplace quicklatex.com-022f08137e12a43d2a5fbb969136d545_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    sont les coordonnées du sommet S de la parabole.

 

Exemple :

Soit le polynôme Mathplace quicklatex.com-2d5b24eeec403500a77452f7e3604e00_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    de la forme Mathplace quicklatex.com-f856438660a2b836b86b1bb9a4ac9758_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    avec Mathplace quicklatex.com-96db3833dbff830d98dfc26a6fc789b7_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    et Mathplace quicklatex.com-f3e6dce5e2db8670b4be359f3d8a7755_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    ,

Calculons Mathplace quicklatex.com-42421223af7c58fb1e03b6ed869a4ef7_l3 3. Fonctions polynômes du second degré     et Mathplace quicklatex.com-6623b868aa0b6a758e58ec9c217b6bec_l3 3. Fonctions polynômes du second degré     :

Mathplace quicklatex.com-e36c5f93cc2909a692cb0041ad136cfd_l3 3. Fonctions polynômes du second degré

Mathplace quicklatex.com-db3b52986693a14ffbcd1893af2a700f_l3 3. Fonctions polynômes du second degré

On en déduit la forme canonique de la fonction :

Mathplace quicklatex.com-a09a206bb4c3d958119df3a331f9ca22_l3 3. Fonctions polynômes du second degré

 

Propriété :

Sens de variation d’un polynôme :

  • Si Mathplace quicklatex.com-56f6e4e661d60b6909ef64f9701e25a0_l3 3. Fonctions polynômes du second degré

      alors la parabole est orientée « vers le haut », la fonctions est strictement décroissante sur Mathplace quicklatex.com-205366bd7f38ce93a1bc0ffb90357a5c_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    puis strictement croissante sur Mathplace quicklatex.com-a31fdd5687b89eaf34e7ee7be5a7f99a_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    .

  • Si Mathplace quicklatex.com-df9e28948f60ac854b11bd7aeceeda21_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    ,

      alors la parabole est orientée « vers le bas », la fonctions est strictement croissante sur Mathplace quicklatex.com-205366bd7f38ce93a1bc0ffb90357a5c_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    puis strictement décroissante sur Mathplace quicklatex.com-a31fdd5687b89eaf34e7ee7be5a7f99a_l3 3. Fonctions polynômes du second degré    .

 

 Mathplace fardeena13a-1-774x1024 3. Fonctions polynômes du second degré     

 Mathplace fardeena13b-2-689x1024 3. Fonctions polynômes du second degré

 

 Mathplace fardeena13a 3. Fonctions polynômes du second degré     Mathplace fardeena13b 3. Fonctions polynômes du second degré

 

Exemples :

 

a > 0 :

Mathplace fardeena14a-1024x600 3. Fonctions polynômes du second degré

Mathplace fardeena14b-1024x600 3. Fonctions polynômes du second degré

Mathplace fardeena14c-1024x600 3. Fonctions polynômes du second degré

 

 

a < 0 :

Mathplace fardeena14d-1-1024x600 3. Fonctions polynômes du second degré

 

Mathplace fardeena14e-1024x600 3. Fonctions polynômes du second degré

Mathplace fardeena14f-1-1024x600 3. Fonctions polynômes du second degré

 

 
 

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