Sujet Progression:

Définition

 

Propriété :

Pour tout réel Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    Mathplace quicklatex.com-6dbc2dc3af2cd0c2b97f39aef6ebd44f_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    et Mathplace quicklatex.com-d8ec657f9507e067629cffac28978af7_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

 

 

Variations

La fonction Mathplace quicklatex.com-6e5a275c3c314ffc8f36942a5f19cf04_l3 3. Etude de la fonction exponentielle     est strictement croissante sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

 

 

Limites

Comportement en Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    :

Mathplace quicklatex.com-f850d0c2b5cf5f599b2e208d1d1748fa_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

 

Démonstration :

Pour tout réel Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 3. Etude de la fonction exponentielle     positif, on pose Mathplace quicklatex.com-ed9af85cf851119565ca057c4e988def_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    .

Cette fonction Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    est dérivable sur Mathplace quicklatex.com-391aacdb8aa9faee0c6aec3452278346_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    avec : Mathplace quicklatex.com-0794f0ec2e5f2a251ad256a9f146bbae_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    .

Ainsi, Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 3. Etude de la fonction exponentielle     est croissante sur Mathplace quicklatex.com-391aacdb8aa9faee0c6aec3452278346_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    .

Comme Mathplace quicklatex.com-362c595a3a802c0694725e16dd16728d_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    , alors pour tout Mathplace quicklatex.com-fa9367178fac102d6d906c8b96ddd3aa_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    , Mathplace quicklatex.com-d57fb4f29e9eb3432a43ede43bea5b16_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    .

ainsi Mathplace quicklatex.com-b2b28e88736be4a8ca5b6041390f710e_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    et donc, on a bien Mathplace quicklatex.com-f850d0c2b5cf5f599b2e208d1d1748fa_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    .

 

Comportement en Mathplace quicklatex.com-163398b76cfda936f4eead91a8ec7eca_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    :

Mathplace quicklatex.com-37388bb27869fb70519cc3a3b946c4da_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

Cette limite se trouve assez facilement en posant X=-x et en utilisant la limite en Mathplace quicklatex.com-25ab6618adc1194d01d26e948197ae98_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

On peut déduire ainsi que la courbe de la fonction Mathplace quicklatex.com-303a8674aa5c88f2f5e22bb750e1bc2c_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    admet une asymptote horizontale d’équation : Mathplace quicklatex.com-5104edf14bc1243c5ad6f8cf5455e6d9_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    .

 

Comportement en 0 :

En posant la limite du taux d’accroissement fini en Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

Mathplace quicklatex.com-46e2f38a21c5d86bb99693d6cf573350_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    et pour h proche de 0 : Mathplace quicklatex.com-ecd985969ad1124c2cfbdf0fc4ae5d66_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

 

La tangente au point d’abscisse 0 est  : 

Mathplace quicklatex.com-c88e578ae5f7b8954cfab9060812eb0b_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

Mathplace quicklatex.com-5946ca3dd80fd3105d5bdfdfb29a25c5_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

 

La tangente au pont d’abscisse 1 est : 

Mathplace quicklatex.com-1dfa1a83b5b124081328a4d107b9e202_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

Mathplace quicklatex.com-d3d121981628f70be3bcfbbcd5edeb26_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

 

 

Théorème de croissance comparée

Pour tout entier Mathplace quicklatex.com-f02736afce1efca7db40ef30d01c44b1_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    Mathplace quicklatex.com-e77af61644f43153c20ef1a9ec174f8e_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    et Mathplace quicklatex.com-c6dbf3aeee09583ca8a782769ba95a72_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

Ce théorème est admis

 

Exemple :

Calculer Mathplace quicklatex.com-774b570d313a56e4f5938526b65c7c3a_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

 

Mathplace quicklatex.com-f57843f272697f6f1ea0171722f4590d_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    (car il s’agit d’une fonction polynomiale)

Donc Mathplace quicklatex.com-f167f7096040ea1d8fec49012aae85a0_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

or Mathplace quicklatex.com-6a1e1d27371b375bf2ec72d38a76ac57_l3 3. Etude de la fonction exponentielle    et Mathplace quicklatex.com-a325ebe0d8da984e07a3a91429f52048_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

 

Donc Mathplace quicklatex.com-dbb86c6fa63322181968e5f13e3e0bdb_l3 3. Etude de la fonction exponentielle

 

 

Tableau de variation

 

Mathplace cours_tleS_fonctions_exp02 3. Etude de la fonction exponentielle

 

 

Représentation graphique

 

Mathplace cours_tleS_fonctions_exp01-1024x635 3. Etude de la fonction exponentielle

 
 
 

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