Sujet Progression:

Définition : 

  • On appelle équation linéaire à deux inconnues Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    et Mathplace quicklatex.com-f5a74e4bef9e19a7809e20bb596825d7_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues     une équation de la forme Mathplace quicklatex.com-f03500dab3c3a523ff7861e4c4bae947_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    , avec Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    et Mathplace quicklatex.com-897b1a907e258fe11fc06917581a0cc2_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    des réels tels que Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    et Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    ne soient pas nuls en même temps.
  • Un système linéaire à deux inconnues est un système composé de deux équations avec les mêmes inconnues et noté tel quel :

Mathplace quicklatex.com-424c51929f2da10bc8fa95ee90b3d73c_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues

avec Mathplace quicklatex.com-04aeda4a42a0c00dbc06ac5639f47d7b_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    et Mathplace quicklatex.com-f51591fd702606f8a93e39b3b167bcc8_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    des réels tel que Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    et Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    ne sont pas nuls en même temps. De même pour Mathplace quicklatex.com-d5e7f3345ebfb9206b1510d1c4442afe_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    et Mathplace quicklatex.com-a1c2646204d571dc6ce4430ee97a2628_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    .

 

Il existe deux méthodes pour résoudre un système à deux inconnues, la méthode par substitution et celle par combinaison linéaire.

 

Remarque :

Quelque soit la méthode, la résolution complète nécessite autant d’équations que d’inconnus. Ainsi dans les exemples qui suivent nous avons deux équations car deux inconnus Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    et Mathplace quicklatex.com-f5a74e4bef9e19a7809e20bb596825d7_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    à trouver.

 

 

Calcul du déterminant d’un système

Définition :

Soit le système (S) suivant :

Mathplace quicklatex.com-f1fdb0258542faf7158941579975e145_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues       Mathplace quicklatex.com-424c51929f2da10bc8fa95ee90b3d73c_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues

On appelle déterminant du système (S) le nombre Mathplace quicklatex.com-734df91c3e9562195e18f3e121be1739_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    .

 

Propriété :

Le déterminant nous renseigne sur le nombre de solutions du système :

  • Si Mathplace quicklatex.com-c6b23e105aad091563c1e6ec5268ea06_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    alors le système n’admet qu’une solution possible.
  • Si Mathplace quicklatex.com-d45a18e33b9bb33c7dd9e9266912aa9d_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    alors le système n’admet aucune solution ou une infinité de solutions.

 

Exemple :

Prenons l’exemple vu dans les méthodes précédentes :

Mathplace quicklatex.com-aab7753758495ea89dbd6460acb0404f_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues

Le déterminant vaut ici :

Mathplace quicklatex.com-8d25973b89db8056c2bcf266e0c26dbb_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues

Le système n’admet donc qu’un couple de solutions possible qui est Mathplace quicklatex.com-89632130fe3d49ffbbab0c7e68f9fe66_l3 2. Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues    .

 
 
 

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