Sujet Progression:

A – Définition et propriétés

Définition 

Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives est définie et continue sur un intervalle I. On dit que Mathplace quicklatex.com-80e0b2a0583851357ecaf3f410b1e082_l3 2. Primitives est une primitive de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives sur I si  Mathplace quicklatex.com-80e0b2a0583851357ecaf3f410b1e082_l3 2. Primitives est dérivable sur I et Mathplace quicklatex.com-a362fdf8d7a383ff74a3479608b50856_l3 2. Primitives

 

Théorème :

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle

 

Exemple :

Trouver une primitive de Mathplace quicklatex.com-ef8ffa4dc08395859c5dba16697b8ceb_l3 2. Primitives sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 2. Primitives

 

La fonction Mathplace quicklatex.com-80e0b2a0583851357ecaf3f410b1e082_l3 2. Primitives définie par Mathplace quicklatex.com-6b06b2f5d9c340ae2764e646463e540f_l3 2. Primitives est une primitive de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives car Mathplace quicklatex.com-515956969e5d409c675e64a2f036f5ee_l3 2. Primitives

 

 

Exemple :

Trouver une primitive de Mathplace quicklatex.com-105a4b53225813b9e97ba5a245bf3da3_l3 2. Primitives sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 2. Primitives

La fonction Mathplace quicklatex.com-80e0b2a0583851357ecaf3f410b1e082_l3 2. Primitives définie par Mathplace quicklatex.com-1e201866e02f11b108595a002df6725a_l3 2. Primitives est une primitive de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives car Mathplace quicklatex.com-601bc51b16b52c1e6e50e6296784e3aa_l3 2. Primitives

 

 

Exemple :

Trouver une primitive de Mathplace quicklatex.com-43e326b265798654094d3981ee346862_l3 2. Primitives sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 2. Primitives

La fonction Mathplace quicklatex.com-80e0b2a0583851357ecaf3f410b1e082_l3 2. Primitives définie par Mathplace quicklatex.com-8d71b7751ec07d388bf9c40a6513c12c_l3 2. Primitives est une primitive de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives car Mathplace quicklatex.com-ce12e088416c0d37fb8d641c9d504ef1_l3 2. Primitives

 

 

Exemple :

Trouver une primitive de Mathplace quicklatex.com-faf2ca66495c0165a0fe9b56eae246a9_l3 2. Primitives sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 2. Primitives

La fonction Mathplace quicklatex.com-80e0b2a0583851357ecaf3f410b1e082_l3 2. Primitives définie par Mathplace quicklatex.com-8e80c249c28bb4b3500f173239a2fcbf_l3 2. Primitives est une primitive de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives car Mathplace quicklatex.com-fcc80cd93e38c75955e1d14a07284672_l3 2. Primitives

 

 

Propriété

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives une fonction définie et continue sur un intervalle I, et soit Mathplace quicklatex.com-80e0b2a0583851357ecaf3f410b1e082_l3 2. Primitives une de ses primitives. Alors l’ensemble des primitives de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives sur I est égal à l’ensemble des fonctions de la forme Mathplace quicklatex.com-f30834e606e5eb03066533f737887c0f_l3 2. Primitives, où Mathplace quicklatex.com-5e2d10ed2cfea6b7ca90cc035d64360c_l3 2. Primitives est une constante.

 

Démonstration :

Supposons qu’il existe 2 primitives Mathplace quicklatex.com-80e0b2a0583851357ecaf3f410b1e082_l3 2. Primitives et Mathplace quicklatex.com-f2b094729cc6f26edeb58a233c39818b_l3 2. Primitives, et donc par définition Mathplace quicklatex.com-a362fdf8d7a383ff74a3479608b50856_l3 2. Primitives et Mathplace quicklatex.com-9dd358985a95d13c3c9937d0ccd90a5c_l3 2. Primitives

Pour tout x de I, on a Mathplace quicklatex.com-bb12806b4840c49d5a9cccb481aecf20_l3 2. Primitives. La dérivée de la fonction Mathplace quicklatex.com-bb225cf1db9006e5c1b784cea2f187ef_l3 2. Primitivesest nulle sur l’intervalle I donc la fonction Mathplace quicklatex.com-bb225cf1db9006e5c1b784cea2f187ef_l3 2. Primitives est une fonction constante sur I.

Donc si Mathplace quicklatex.com-f2b094729cc6f26edeb58a233c39818b_l3 2. Primitives est une autre primitive de f sur I alors Mathplace quicklatex.com-bb225cf1db9006e5c1b784cea2f187ef_l3 2. Primitives est une fonction constante sur I, donc Mathplace quicklatex.com-c998395f50bd0981b77f72d6fa335fb2_l3 2. Primitives

 

Réciproquement,

On pose la fonction Mathplace quicklatex.com-99bb05013b8fb45eaae2459015f6934d_l3 2. Primitives définie sur I

Mathplace quicklatex.com-2cf6ee76c5cfc2c831295c9782b259a1_l3 2. Primitives

donc la fonction Mathplace quicklatex.com-f2b094729cc6f26edeb58a233c39818b_l3 2. Primitives est une primitive de f sur I

On a ainsi démontrer que l’ensemble des primitives de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives sur I est égal à l’ensemble des fonctions de la forme Mathplace quicklatex.com-f30834e606e5eb03066533f737887c0f_l3 2. Primitives, où Mathplace quicklatex.com-5e2d10ed2cfea6b7ca90cc035d64360c_l3 2. Primitives est une constant

 

Propriété

Si Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives admet des primitives sur I, alors il en existe une seule vérifiant Mathplace quicklatex.com-7923a014a0a5265dd1bef2c685b5dd2c_l3 2. Primitives

 

Démonstration :

D’après la propriété précédente, l’ensemble des primitives de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives est à l’ensemble des fonctions de la forme Mathplace quicklatex.com-f30834e606e5eb03066533f737887c0f_l3 2. Primitives

il s’agit donc de trouver Mathplace quicklatex.com-5e2d10ed2cfea6b7ca90cc035d64360c_l3 2. Primitives telle que F(a)+k=b

donc k=b-F(a)

En conclusion, il en existe bien une seule et c’est la fonction Mathplace quicklatex.com-9f6ccdfbb2bf612686c4886bfd700347_l3 2. Primitives

 

 

Exemple :

Trouver la primitive G de la fonction carré f qui prend la valeur 1 pour x = 2.

La fonction G recherchée est de la forme : Mathplace quicklatex.com-b286609f4075e1ea50585e8b77b57c98_l3 2. Primitives et Mathplace quicklatex.com-9bd8c59fd3c3d245e4633ac8853e0bb5_l3 2. Primitives

Donc d’après la propriété précédente, Mathplace quicklatex.com-da63d94bb5a38341efe3984f72975c0d_l3 2. Primitives

 

 

B – Cas des fonctions positives et continues :

Théorème :

Si Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives est continue positive sur Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 2. Primitives alors Mathplace quicklatex.com-64329ab109d8ef5478cb01ce92dca23b_l3 2. Primitives est la primitive de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives sur Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 2. Primitives s’annulant en a. Toutes les primitives de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives sont des fonctions Mathplace quicklatex.com-80e0b2a0583851357ecaf3f410b1e082_l3 2. Primitives telles que Mathplace quicklatex.com-b5c7b21e7574e7402dc3a6cdb9d042cf_l3 2. Primitives où Mathplace quicklatex.com-534e258ed7f7c2a25c0645e8a9ab76ca_l3 2. Primitives

 

Démonstration :

D’après le théorème (voir lien partie 1.3),  la fonction définie sur Mathplace quicklatex.com-62cfa64446dad865a04a2f69ea27873a_l3 2. Primitives par Mathplace quicklatex.com-d1eaddfe940a6dce85265a6695a00050_l3 2. Primitives est dérivable sur Mathplace quicklatex.com-62cfa64446dad865a04a2f69ea27873a_l3 2. Primitives et sa fonction dérivée est la fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives

Donc la fonction définie sur [a ;b ] par Mathplace quicklatex.com-723e309fe22aec8944a979fc844b6603_l3 2. Primitives est une primitive de la fonction f.

L’ensemble des primitives de f sont les fonctions F : Mathplace quicklatex.com-b23b5927723e488a7225263e8f9eb41c_l3 2. Primitives

Or Mathplace quicklatex.com-cb54470afb3fd6480badcc2adbe672ed_l3 2. Primitives

D’après les propriétés précédentes, la fonction est bien la primitive de Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives sur Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 2. Primitives qui s’annule en a.

 

Propriété :

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Primitives une fonction continue et positive sur Mathplace quicklatex.com-1a111fd324373d2c54008aa7bab0b442_l3 2. Primitives et F une de ses primitives.On a alors :

Mathplace quicklatex.com-f2ad39f03bc8de571a6f1d6fa0566869_l3 2. Primitives

 

Démonstration :

d’après le théorème précédent, la fonction définie sur [a ;b ] par Mathplace quicklatex.com-d1eaddfe940a6dce85265a6695a00050_l3 2. Primitives est la primitive de la fonction f qui s’annule en a.

Et on sait que, si Mathplace quicklatex.com-80e0b2a0583851357ecaf3f410b1e082_l3 2. Primitives est une des primitives de f sur Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 2. Primitives, la primitive de f qui s’annule en a est la fonction Mathplace quicklatex.com-1a394ddbd526ed091b116ac3560ff6cb_l3 2. Primitives, donc on a Mathplace quicklatex.com-3445c769131b3fa155ca38c96b57cce6_l3 2. Primitives, en particulier pour x=b, on a :

Mathplace quicklatex.com-b3cb18baeb6be547e9057cf90eadefdb_l3 2. Primitives

 
 
 

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