A – Définition et propriétés
Définition
est définie et continue sur un intervalle I. On dit que 
est une primitive de sur I si est dérivable sur I et 
Théorème :
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle
Exemple :
Trouver une primitive de 
sur 
La fonction définie par 
est une primitive de car 
Exemple :
Trouver une primitive de 
sur
La fonction définie par 
est une primitive de car 
Exemple :
Trouver une primitive de 
sur
La fonction définie par 
est une primitive de car 
Exemple :
Trouver une primitive de 
sur
La fonction définie par 
est une primitive de car 
Propriété
Soit une fonction définie et continue sur un intervalle I, et soit une de ses primitives. Alors l’ensemble des primitives de sur I est égal à l’ensemble des fonctions de la forme 
, où 
est une constante.
Démonstration :
Supposons qu’il existe 2 primitives et 
, et donc par définition et 
Pour tout x de I, on a 
. La dérivée de la fonction 
est nulle sur l’intervalle I donc la fonction est une fonction constante sur I.
Donc si est une autre primitive de f sur I alors est une fonction constante sur I, donc 
Réciproquement,
On pose la fonction 
définie sur I
donc la fonction est une primitive de f sur I
On a ainsi démontrer que l’ensemble des primitives de sur I est égal à l’ensemble des fonctions de la forme , où est une constant
Propriété
Si admet des primitives sur I, alors il en existe une seule vérifiant 
Démonstration :
D’après la propriété précédente, l’ensemble des primitives de est à l’ensemble des fonctions de la forme
il s’agit donc de trouver telle que F(a)+k=b
donc k=b-F(a)
En conclusion, il en existe bien une seule et c’est la fonction 
Exemple :
Trouver la primitive G de la fonction carré f qui prend la valeur 1 pour x = 2.
La fonction G recherchée est de la forme : 
et 
Donc d’après la propriété précédente, 
B – Cas des fonctions positives et continues :
Théorème :
Si est continue positive sur 
alors 
est la primitive de sur s’annulant en a. Toutes les primitives de sont des fonctions telles que 
où 
Démonstration :
D’après le théorème (voir lien partie 1.3), la fonction définie sur 
par 
est dérivable sur et sa fonction dérivée est la fonction
Donc la fonction définie sur [a ;b ] par 
est une primitive de la fonction f.
L’ensemble des primitives de f sont les fonctions F : 
Or 
D’après les propriétés précédentes, la fonction est bien la primitive de sur qui s’annule en a.
Propriété :
Soit une fonction continue et positive sur 
et F une de ses primitives.On a alors :
Démonstration :
d’après le théorème précédent, la fonction définie sur [a ;b ] par est la primitive de la fonction f qui s’annule en a.
Et on sait que, si est une des primitives de f sur , la primitive de f qui s’annule en a est la fonction 
, donc on a 
, en particulier pour x=b, on a :
