Sujet Progression:

Théorème :

Il existe une fonction f, dérivable sur Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle     telle que :

Mathplace quicklatex.com-2869277e72b36ab89869d0c02c0a5761_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    et Mathplace quicklatex.com-cd3319bded972efbe1d0988b3eca656d_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et on la note Mathplace quicklatex.com-1ca76566f0ef36ab4631d2fd438354bc_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    . Ainsi pour tout Mathplace quicklatex.com-547d2689518828891ee417229b452d33_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    : Mathplace quicklatex.com-3a020275b2aaf1aa128a2ebbdb9c4316_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle

 

Démonstration :

L’existence de la fonction exponentielle est admise dans le programme.

Nous allons nous contenter ici de démontrer l’unicité.

On suppose qu’il existe deux fonctions Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    et Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    dérivables sur Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    telles que Mathplace quicklatex.com-0a6eacf92e5803322279825bd78b9bf9_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle

On pose Mathplace quicklatex.com-bc283802cd1becc6efc55119ef39cb7a_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    (étant donné que f ne s’annule jamais sur Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    ).

Donc Mathplace quicklatex.com-6f2041efb4958dcd2219e39b02d28aab_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    est dérivable sur Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle     car quotient de fonctions dérivables

Et Mathplace quicklatex.com-a7b1c4a620068ed229c91ad53cad0ed3_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    .

car Mathplace quicklatex.com-2869277e72b36ab89869d0c02c0a5761_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    et Mathplace quicklatex.com-5bcc45191a5754c9de964c6391de0dc6_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle

On peut donc dire que Mathplace quicklatex.com-6f2041efb4958dcd2219e39b02d28aab_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    est constante sur Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    .

Et pour tout réel Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    Mathplace quicklatex.com-632d13bddb8efc63c8cbab361e655c19_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle

Cela implique donc que pour tout réel Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    Mathplace quicklatex.com-5617f387db83ea70903e3eb0e12ded89_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle

Soit Mathplace quicklatex.com-13013e45d76328d032027951aca5e64d_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle

Les deux fonctions sont donc égales, ce qui prouve l’unicité du théorème.

 

Propriétés de la fonction exponentielle

  • exp est continue sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle
  • exp est dérivable sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    et pour tout Mathplace quicklatex.com-547d2689518828891ee417229b452d33_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    , Mathplace quicklatex.com-56a3d2d16f07f43a102d158757e687d7_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    Mathplace quicklatex.com-d58ecdf69918272fad5dbd86be4786ee_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle

    • Pour tout réels a et b, Mathplace quicklatex.com-8d6e9b1e752a402804fd80886d45d442_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle
    • Pour tout réel a, Mathplace quicklatex.com-eead405d1a8f9dc87527d1307e6576f1_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle
    • Pour tout réel a et b, Mathplace quicklatex.com-fc02523b8db3f1900e4c84bd0b6c8776_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle
    • Pour tout réel a et tout entier k, Mathplace quicklatex.com-2f0f5c1cf6842135702106e672027c5b_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle
    • Pour tout réel a, Mathplace quicklatex.com-33d07ff52ce5b4e5f4c7f167faee67ab_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle

     

    On peut noter : Mathplace quicklatex.com-917193bfaae51d6c5d666dade359a4ca_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle    avec Mathplace quicklatex.com-f4ebf2399caa634e8900729b15451529_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle

     
     
     

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