2. Introduction de la fonction exponentielle

Sujet Progression:

Théorème :

Il existe une fonction f, dérivable sur $Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ telle que :

$Mathplace quicklatex.com-2869277e72b36ab89869d0c02c0a5761_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ et $Mathplace quicklatex.com-cd3319bded972efbe1d0988b3eca656d_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et on la note $Mathplace quicklatex.com-1ca76566f0ef36ab4631d2fd438354bc_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ . Ainsi pour tout $Mathplace quicklatex.com-547d2689518828891ee417229b452d33_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ : $Mathplace quicklatex.com-3a020275b2aaf1aa128a2ebbdb9c4316_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$

Démonstration :

L’existence de la fonction exponentielle est admise dans le programme.

Nous allons nous contenter ici de démontrer l’unicité.

On suppose qu’il existe deux fonctions $Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ et $Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ dérivables sur $Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ telles que $Mathplace quicklatex.com-0a6eacf92e5803322279825bd78b9bf9_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$

On pose $Mathplace quicklatex.com-bc283802cd1becc6efc55119ef39cb7a_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ (étant donné que f ne s’annule jamais sur $Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ ).

Donc $Mathplace quicklatex.com-6f2041efb4958dcd2219e39b02d28aab_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ est dérivable sur $Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ car quotient de fonctions dérivables

Et $Mathplace quicklatex.com-a7b1c4a620068ed229c91ad53cad0ed3_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ .

car $Mathplace quicklatex.com-2869277e72b36ab89869d0c02c0a5761_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ et $Mathplace quicklatex.com-5bcc45191a5754c9de964c6391de0dc6_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$

On peut donc dire que $Mathplace quicklatex.com-6f2041efb4958dcd2219e39b02d28aab_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ est constante sur $Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ .

Et pour tout réel $Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ , $Mathplace quicklatex.com-632d13bddb8efc63c8cbab361e655c19_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$

Cela implique donc que pour tout réel $Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ , $Mathplace quicklatex.com-5617f387db83ea70903e3eb0e12ded89_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$

Soit $Mathplace quicklatex.com-13013e45d76328d032027951aca5e64d_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$

Les deux fonctions sont donc égales, ce qui prouve l’unicité du théorème.

Propriétés de la fonction exponentielle

exp est continue sur $Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$
exp est dérivable sur $Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ et pour tout $Mathplace quicklatex.com-547d2689518828891ee417229b452d33_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ , $Mathplace quicklatex.com-56a3d2d16f07f43a102d158757e687d7_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ , $Mathplace quicklatex.com-d58ecdf69918272fad5dbd86be4786ee_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$
- Pour tout réels a et b, $Mathplace quicklatex.com-8d6e9b1e752a402804fd80886d45d442_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$
- Pour tout réel a, $Mathplace quicklatex.com-eead405d1a8f9dc87527d1307e6576f1_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$
- Pour tout réel a et b, $Mathplace quicklatex.com-fc02523b8db3f1900e4c84bd0b6c8776_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$
- Pour tout réel a et tout entier k, $Mathplace quicklatex.com-2f0f5c1cf6842135702106e672027c5b_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$
- Pour tout réel a, $Mathplace quicklatex.com-33d07ff52ce5b4e5f4c7f167faee67ab_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$
On peut noter : $Mathplace quicklatex.com-917193bfaae51d6c5d666dade359a4ca_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$ avec $Mathplace quicklatex.com-f4ebf2399caa634e8900729b15451529_l3 2. Introduction de la fonction exponentielle$

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