Sujet Progression:

A. Définitions

Définition :

  • La fonction qui à tout réel x, associe le nombre Mathplace quicklatex.com-b1d02a42a2f82ffb6051761b15805d34_l3 2. Fonctions trigonométriques    , est appelée la fonction cosinus :

Mathplace quicklatex.com-8775eff7673ee19feab1dfc7f30092b0_l3 2. Fonctions trigonométriques

  • La fonction qui à tout réel x, associe le nombre Mathplace quicklatex.com-1353585b698a2ffa0254596732cb72ba_l3 2. Fonctions trigonométriques    , est appelée la fonction sinus :

Mathplace quicklatex.com-4ca7bfcf057e37ab7f8039381b47bea8_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

Remarque :

La fonction tangente n’est plus au programme de Terminale mais il est intéressant de la connaître :

Mathplace quicklatex.com-8f871dace7720497670a03ac4b52ca33_l3 2. Fonctions trigonométriques    , pour tout réel x

 

 

B. Propriétés

Propriété:

La fonction cosinus est paire sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 2. Fonctions trigonométriques

Pour tout réel x, Mathplace quicklatex.com-f151c13d956e1eaa8a3562915a1d0799_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

Propriété:

La fonction sinus est impaire sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 2. Fonctions trigonométriques

Pour tout réel x, Mathplace quicklatex.com-1d28780f48c038778d15d42553600681_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

 

Propriété :

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période Mathplace quicklatex.com-004d8a67ebb4f7c3d8a3f161f76ef9b9_l3 2. Fonctions trigonométriques     sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 2. Fonctions trigonométriques

Pour tout réel x, Mathplace quicklatex.com-7a8845df92079fa0ac05b7ebad9f3701_l3 2. Fonctions trigonométriques

Pour tout réel x, Mathplace quicklatex.com-35043674cc187f7407129ab0cef3a94d_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

 

C. Dérivation

Propriété :

La fonction sinus est dérivable en 0 et admet pour nombre dérivé 1 en 0

Mathplace quicklatex.com-64b2c1688f6309cf0b0834ae8dc618b4_l3 2. Fonctions trigonométriques

On note que sinus est dérivable en 0 signifie que le taux d’accroissement Mathplace quicklatex.com-4e849d5fc7820f7f15a8ef83ee43d715_l3 2. Fonctions trigonométriques     admet une limite finie lorsque Mathplace quicklatex.com-6f2041efb4958dcd2219e39b02d28aab_l3 2. Fonctions trigonométriques    tend vers 0, ainsi Mathplace quicklatex.com-4571880495d750fee797e8f8d1500ccf_l3 2. Fonctions trigonométriques     admet une limite lorsque Mathplace quicklatex.com-6f2041efb4958dcd2219e39b02d28aab_l3 2. Fonctions trigonométriques    vers 0.

Cette démonstration n’est pas exigible

 

Propriété :

La fonction cosinus est dérivable en 0 et admet pour nombre dérivé 0 en 0

Mathplace quicklatex.com-cc1c963d394b7867debd87c0f469253b_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

On note que cosinus est dérivable en 0 signifie que le taux d’accroissement Mathplace quicklatex.com-c3ce864fbe8089af6a575cf3cf428889_l3 2. Fonctions trigonométriques     admet une limite finie lorsque Mathplace quicklatex.com-6f2041efb4958dcd2219e39b02d28aab_l3 2. Fonctions trigonométriques    tend vers 0, ainsi .Mathplace quicklatex.com-ae9cbc3b2b7dc16b0673ce41de1e77dc_l3 2. Fonctions trigonométriques     admet une limite lorsque Mathplace quicklatex.com-6f2041efb4958dcd2219e39b02d28aab_l3 2. Fonctions trigonométriques    vers 0.

Cette démonstration n’est pas exigible

 

Théorème :

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 2. Fonctions trigonométriques    et pour tout Mathplace quicklatex.com-547d2689518828891ee417229b452d33_l3 2. Fonctions trigonométriques    , on a 

Mathplace quicklatex.com-a7a018c77741c8ca584aad9f15aaf7d5_l3 2. Fonctions trigonométriques

Mathplace quicklatex.com-aea92a5f9710334c42792a44a1734482_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

Démonstration :

Sinus :

Avec le taux d’accroissement,

Soit Mathplace quicklatex.com-547d2689518828891ee417229b452d33_l3 2. Fonctions trigonométriques    , et Mathplace quicklatex.com-6d0f25e19e88c299419589534e1dc70d_l3 2. Fonctions trigonométriques     on a :

Mathplace quicklatex.com-d9526a7c9ef47dad92d1fc9ecfdb1396_l3 2. Fonctions trigonométriques

=Mathplace quicklatex.com-79e959128dcdabed7984709e15f5cc02_l3 2. Fonctions trigonométriques

=Mathplace quicklatex.com-fe2b340d470db257a2471ceceaaf4fe9_l3 2. Fonctions trigonométriques

=Mathplace quicklatex.com-6f02fc9ca82bc10b5337e98b25e8bfb2_l3 2. Fonctions trigonométriques

or Mathplace quicklatex.com-cc1c963d394b7867debd87c0f469253b_l3 2. Fonctions trigonométriques    et Mathplace quicklatex.com-64b2c1688f6309cf0b0834ae8dc618b4_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

donc Mathplace quicklatex.com-c572602be1587b53ecab6cd012c20607_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

Cosinus :

Avec le taux d’accroissement,

Soit Mathplace quicklatex.com-547d2689518828891ee417229b452d33_l3 2. Fonctions trigonométriques    , et Mathplace quicklatex.com-6d0f25e19e88c299419589534e1dc70d_l3 2. Fonctions trigonométriques     on a :

Mathplace quicklatex.com-35fe6efeea9184abab141979fa10607e_l3 2. Fonctions trigonométriques

=Mathplace quicklatex.com-cbdca6e2fe1a82c0b38ba58d6e359a82_l3 2. Fonctions trigonométriques

=Mathplace quicklatex.com-4a02f9bd4e290323bf4968cb8a1bf06a_l3 2. Fonctions trigonométriques

=Mathplace quicklatex.com-569ec97759567dbf4887e6780b6103db_l3 2. Fonctions trigonométriques

or Mathplace quicklatex.com-cc1c963d394b7867debd87c0f469253b_l3 2. Fonctions trigonométriques    et Mathplace quicklatex.com-64b2c1688f6309cf0b0834ae8dc618b4_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

donc Mathplace quicklatex.com-cb5c726f8b183414d8304aa049a0498d_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

 

D. Etude complète et représentation graphique des fonctions cosinus et sinus

 

Sinus

Mathplace quicklatex.com-b1e0a6c03748a737cb8308f2ec473b57_l3 2. Fonctions trigonométriques     définie sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 2. Fonctions trigonométriques    :

 

  • Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Fonctions trigonométriques    est périodique de période Mathplace quicklatex.com-004d8a67ebb4f7c3d8a3f161f76ef9b9_l3 2. Fonctions trigonométriques     donc on peut étudier la fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Fonctions trigonométriques    sur Mathplace quicklatex.com-2f1b715ba7ee694ddc71608580ee02dd_l3 2. Fonctions trigonométriques    . On construit la courde en reportant la période

 

  • Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Fonctions trigonométriques    est impaire donc on peut étudier la fonction sur Mathplace quicklatex.com-eb73e829db5e44860c6a935256d5548c_l3 2. Fonctions trigonométriques     puis par symétrie par rapport au point Mathplace quicklatex.com-2000127db9bc6609dd2e343e1202ae87_l3 2. Fonctions trigonométriques    , on obtient la courbe sur Mathplace quicklatex.com-2f1b715ba7ee694ddc71608580ee02dd_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

  • Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Fonctions trigonométriques    est dérivable sur Mathplace quicklatex.com-9f0635b722c991cf438a0929beea9caa_l3 2. Fonctions trigonométriques    et Mathplace quicklatex.com-7eb632d801222d3e5f6c9a0c2ea36b37_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

  • Tableau de variation :

 

Mathplace cours_tleS_fonctions_trigo-1 2. Fonctions trigonométriques

 

Cosinus

Mathplace quicklatex.com-cbf73b70ea00fbcd35654bdf8c5158fe_l3 2. Fonctions trigonométriques     définie sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 2. Fonctions trigonométriques    :

 

  • Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Fonctions trigonométriques    est périodique de période Mathplace quicklatex.com-004d8a67ebb4f7c3d8a3f161f76ef9b9_l3 2. Fonctions trigonométriques     donc on peut étudier la fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Fonctions trigonométriques    sur Mathplace quicklatex.com-2f1b715ba7ee694ddc71608580ee02dd_l3 2. Fonctions trigonométriques    . On construit la courde en reportant la période

 

  • Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Fonctions trigonométriques    est paire donc on peut étudier la fonction sur Mathplace quicklatex.com-eb73e829db5e44860c6a935256d5548c_l3 2. Fonctions trigonométriques     puis par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, on obtient la courbe sur Mathplace quicklatex.com-2f1b715ba7ee694ddc71608580ee02dd_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

  • Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Fonctions trigonométriques    est dérivable sur Mathplace quicklatex.com-9f0635b722c991cf438a0929beea9caa_l3 2. Fonctions trigonométriques    et Mathplace quicklatex.com-a93a70bdf4d6d01e88262418ffe35c1e_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

  • Sur Mathplace quicklatex.com-eb73e829db5e44860c6a935256d5548c_l3 2. Fonctions trigonométriques    Mathplace quicklatex.com-f981d3a6bf38824d05d145c442e1c1a5_l3 2. Fonctions trigonométriques     donc Mathplace quicklatex.com-c7783f6daec4096e78353343cd9c6dce_l3 2. Fonctions trigonométriques     et donc Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 2. Fonctions trigonométriques    est décroissante sur Mathplace quicklatex.com-c6f5942353fe7a26515f55b75816bc4f_l3 2. Fonctions trigonométriques

 

  • Tableau de variation :

 

Mathplace cours_tleS_fonctions_trigo-2 2. Fonctions trigonométriques

 

 

Représentation graphique des deux fonctions :

 

Mathplace cours_tleS_fonctions_trigo02 2. Fonctions trigonométriques

 

Mathplace cours_tleS_fonctions_trigo03 2. Fonctions trigonométriques

 

 
 

Pas encore inscrit ?.

Inscrivez-vous dès maintenant !

Et accédez à tous les cours, exercices gratuitement et bénéficier de l'offre d'aide aux devoirs.
S'INSCRIRE
close-link