2. Convergence de suite

Sujet Progress:

A – Théorème d’encadrement (ou « des gendarmes »)

Théorème :

Soit $Mathplace quicklatex.com-b33fc37c92228ca653d4a3bcc88b1c30_l3 2. Convergence de suite$ , $Mathplace quicklatex.com-6e7f09b4bd473ee1508494ee2cc33c95_l3 2. Convergence de suite$ et $Mathplace quicklatex.com-fa7569f337a0bd3ab3f7e51f3eeae8cf_l3 2. Convergence de suite$ , 3 suites telles que à partir d’un certain rang, $Mathplace quicklatex.com-d0150ea0c3960c93b6821834da4c5010_l3 2. Convergence de suite$

Si $Mathplace quicklatex.com-b33fc37c92228ca653d4a3bcc88b1c30_l3 2. Convergence de suite$ et $Mathplace quicklatex.com-6e7f09b4bd473ee1508494ee2cc33c95_l3 2. Convergence de suite$ convergent toutes les deux vers le même réel $Mathplace quicklatex.com-a1983bbe70dbb5650822521998c33f27_l3 2. Convergence de suite$ , alors $Mathplace quicklatex.com-6e7f09b4bd473ee1508494ee2cc33c95_l3 2. Convergence de suite$ converge aussi vers $Mathplace quicklatex.com-a1983bbe70dbb5650822521998c33f27_l3 2. Convergence de suite$ .

Si $Mathplace quicklatex.com-b33fc37c92228ca653d4a3bcc88b1c30_l3 2. Convergence de suite$ tend vers $Mathplace quicklatex.com-9182603e3932aa3fcc182ddc82c26c2b_l3 2. Convergence de suite$ , alors $Mathplace quicklatex.com-6e7f09b4bd473ee1508494ee2cc33c95_l3 2. Convergence de suite$ tend aussi vers $Mathplace quicklatex.com-9182603e3932aa3fcc182ddc82c26c2b_l3 2. Convergence de suite$

Si $Mathplace quicklatex.com-b33fc37c92228ca653d4a3bcc88b1c30_l3 2. Convergence de suite$ tend vers $Mathplace quicklatex.com-0c252823b03584776339574cce677cb3_l3 2. Convergence de suite$ , alors $Mathplace quicklatex.com-6e7f09b4bd473ee1508494ee2cc33c95_l3 2. Convergence de suite$ tend vers $Mathplace quicklatex.com-0c252823b03584776339574cce677cb3_l3 2. Convergence de suite$

Exemple :

Soit la suite définie par $Mathplace quicklatex.com-7fe28b62dffcf43177425c3d4c6112bc_l3 2. Convergence de suite$ pour tout entier naturel n strictement positif.

Calculer $Mathplace quicklatex.com-69bf355c85039960d566fd09f6a6a17a_l3 2. Convergence de suite$

Pour tout entier naturel $Mathplace quicklatex.com-5e3ca09b6b47ffa726146e6af8eda6cd_l3 2. Convergence de suite$ , $Mathplace quicklatex.com-2fc53fac01a499016574012c77c60c9e_l3 2. Convergence de suite$

Comme $Mathplace quicklatex.com-5356f08b21df5388826dc6f2b078b214_l3 2. Convergence de suite$ , alors on a $Mathplace quicklatex.com-81e178ea94e6f88afcc4d43170008405_l3 2. Convergence de suite$ et $Mathplace quicklatex.com-6bca782fb6e98ea09ac634018ebbc5f8_l3 2. Convergence de suite$

Et par conséquence, la suite $Mathplace quicklatex.com-6bca782fb6e98ea09ac634018ebbc5f8_l3 2. Convergence de suite$

Théorème de convergence monotone :

Toute suite croissante et majorée, converge
Toute suite décroissante et minorée, converge
Toute suite monotone et bornée, converge

Dans la pratique pour appliquer le théorème des gendarmes, voir la méthode 1 : Calculer la limite d’une suite à partir du théorème des gendarmes.

B – Suite majorée, suite minorée, suite bornée

Définition :

La suite $Mathplace quicklatex.com-b33fc37c92228ca653d4a3bcc88b1c30_l3 2. Convergence de suite$ est majorée s’il existe un réel $Mathplace quicklatex.com-592de9570ee946dc502e38cd71604372_l3 2. Convergence de suite$ tel que : Pour tout entier naturel $Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 2. Convergence de suite$ , $Mathplace quicklatex.com-fe386e10d1e9cca13d6992fb22a334bf_l3 2. Convergence de suite$

La suite $Mathplace quicklatex.com-b33fc37c92228ca653d4a3bcc88b1c30_l3 2. Convergence de suite$ est minorée s’il existe un réel $Mathplace quicklatex.com-eac47f33ad69bb2f9941ba2a90d7737f_l3 2. Convergence de suite$ tel que : Pour tout entier naturel $Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 2. Convergence de suite$ , $Mathplace quicklatex.com-005f10e9af496b3b465a3666d00e5365_l3 2. Convergence de suite$

Une suite bornée est une suite majorée et minorée.

Le saviez-vous ?

La suite $Mathplace quicklatex.com-8341fe8222674f87a46f1328804da363_l3 2. Convergence de suite$ est minorée par $Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 2. Convergence de suite$ mais non majorée

La suite $Mathplace quicklatex.com-f92bc2555447a6b6f1e76950e7edf1b1_l3 2. Convergence de suite$ est majorée par $Mathplace quicklatex.com-2d70fbbeab864d4b5bb1e63100a882f9_l3 2. Convergence de suite$ et minorée par $Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 2. Convergence de suite$ , elle est donc bornée