Sujet Progression:

Définition et propriétés

 

Définition :

Résoudre une inéquation consiste à trouver tous les réels Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    qui vérifient l’inégalité donnée. En général, plusieurs réels sont solutions. La solution s’exprime alors sous forme d’intervalle ou d’une union d’intervalles.

 

Remarque :

Les bornes des intervalles de solutions sont ouvertes sur les infinies, les valeurs interdites, lorsque les inégalités sont strictes et ouvertes dans tous les autres cas.

 

Propriétés :

  • L’addition ou la soustraction d’un même nombre aux deux membres d’une inéquation donne une inéquation équivalente (solutions de l’équation inchangées).
  • La multiplication ou la division par un même nombre strictement positif aux deux membres d’une inéquation donne une inéquation équivalente.
  • La multiplication ou la division par un même nombre strictement négatif aux deux membres d’une inéquation donne une inéquation équivalente si et seulement si on change le sens de l’inégalité.

 

Exemple :

Prenons l’exemple de l’inéquation suivante :

Mathplace quicklatex.com-a2be0ee368d79b9691403cd9a7f09050_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations

Pour isoler Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    et résoudre l’inéquation il convient ici de soustraire par Mathplace quicklatex.com-8c30e303499c27c18b348a2290c6fe6b_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    puis de diviser par Mathplace quicklatex.com-bbcbf101b82e08dbb8b052269640f2cb_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    .

La soustraction par un nombre négatif ne change pas le sens de l’inégalité :

Mathplace quicklatex.com-87a734f73fd8fd47f173fe2db084bc31_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations

La division par un nombre négatif change l’inégalité :

Mathplace quicklatex.com-8ae244f2b76fe414ad4ed80d384a9182_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations

Ainsi les solutions vérifiant l’inégalité sont tous les rées Mathplace quicklatex.com-eca22b206f0b86270c471da47b681beb_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    .

 

 

Signe de Mathplace quicklatex.com-49cf733129a9989dada786f7f6f6a925_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations

 

Soit la fonction affine Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations     définit sur Mathplace quicklatex.com-bda7a5215b9078647a0e0a4491025200_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    par Mathplace quicklatex.com-aee6370bac92d42a4711d59dc1c52ec9_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    .

 

Théorème :

Le signe de la droite représentative dépend du signe de Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations     :

  • si Mathplace quicklatex.com-56f6e4e661d60b6909ef64f9701e25a0_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    , alors elle est strictement négative sur Mathplace quicklatex.com-be5d4f7d879d200445b3aa7c66ca6030_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    et strictement positive sur Mathplace quicklatex.com-47a03ed8f2764a189a6fe07633b9e6c0_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    .
  • si Mathplace quicklatex.com-df9e28948f60ac854b11bd7aeceeda21_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    , alors elle est strictement positive sur Mathplace quicklatex.com-be5d4f7d879d200445b3aa7c66ca6030_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    et strictement négative sur Mathplace quicklatex.com-47a03ed8f2764a189a6fe07633b9e6c0_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    .

On représente le signe dans un tableau de signe en indiquant par un signe Mathplace quicklatex.com-cce06b777ad7d0901095b122effec5ec_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    lorsque la fonction est positive et par un Mathplace quicklatex.com-ed9f00cc00952cc2d1e9b64aa30dc332_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    lorsqu’elle est négative.

On place un Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    là où la fonction s’annule soit en Mathplace quicklatex.com-d650fe25ed55e6f251ff99ed0488eceb_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    .

L’astuce est ensuite de mettre le signe de Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    à droite du Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    et le signe opposé à gauche.

 

Cas Mathplace quicklatex.com-ffba8cb96e7662fc5198e79b71eb8cf6_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    :

 Mathplace figure1 1. Résolution algébrique d'inéquations

 

 

Cas Mathplace quicklatex.com-f0420f6980d3285de1d304876b4fd5fb_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    :

Mathplace figure1_1 1. Résolution algébrique d'inéquations

 

 

Tableaux de signes

 

Propriété :

Certaines équations plus complexes peuvent s’exprimer sous forme d’un produit ou quotient de facteurs inférieur ou supérieur à zéro. Ces facteurs sont alors des expressions plus simples telles que des fonctions affines dont on peut déterminer le signe. Il convient alors de réaliser un tableau de signe avec une ligne pour chaque facteur et une ligne (la dernière) pour l’expression global.

 

On étudie le signe de chaque facteur et on met les signes Mathplace quicklatex.com-d191b05675ebc7a999e4ab6e9b75145e_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    ou Mathplace quicklatex.com-ed9f00cc00952cc2d1e9b64aa30dc332_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    associés dans leur ligne.

 

Le signe global du produit ou quotient de facteurs (dernière ligne du tableau) se déduit colonne par colonne selon la règle suivante :

  • Si le nombre de signe Mathplace quicklatex.com-ed9f00cc00952cc2d1e9b64aa30dc332_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    dans la colonne est pair alors le signe de l’expression global dans l’intervalle  correspondant est positif.
  • Si le nombre de signe Mathplace quicklatex.com-ed9f00cc00952cc2d1e9b64aa30dc332_l3 1. Résolution algébrique d'inéquations    est impair alors le signe de l’expression global dans l’intervalle correspondant à la colonne est négatif. 

 

 
 

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