Sujet Progression:

Définitions :

  • Résoudre une équation consiste à trouver les valeurs possibles des inconnus qui vérifient l’équation.
  • Deux équations équivalentes sont deux équations ayant le même ensemble de solutions.
 

Théorèmes et propriétés

La résolution d’équation nécessite de bien connaître certaines règles de calcul afin de « jongler » avec les chiffres en vue de trouver les inconnus.

 

Théorèmes :

  • L’addition ou la soustraction d’un même nombre aux deux membres d’une équation donne une équation équivalente à celle initiale (ce qui signifie que les solutions de l’équation sont inchangées).
  • La multiplication ou la division par un même nombre non nul des deux membres d’une équation donne une équation équivalente à celle initiale.

 

Exemple :

On cherche à résoudre Mathplace quicklatex.com-5ea5f4fbfab368d534db4fa00ab08356_l3 1. Résolution algébrique d'équations    et donc à trouver la ou les valeurs de Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 1. Résolution algébrique d'équations    qui vérifient l’équation.

 

Pour isoler Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 1. Résolution algébrique d'équations    dans le membre de gauche on additionne dans un premier temps les deux membres par Mathplace quicklatex.com-d8c83a567c1372e5f2c4003db2c5f4de_l3 1. Résolution algébrique d'équations    :

Mathplace quicklatex.com-89589e1365feb8a7f82fab98a39d9b85_l3 1. Résolution algébrique d'équations

 

Puis on divise les deux membres par Mathplace quicklatex.com-d37f3197634f18036a476eb127c27315_l3 1. Résolution algébrique d'équations    :

Mathplace quicklatex.com-68334b3411f64974c5b91ca5ec57fe05_l3 1. Résolution algébrique d'équations

 

Théorème :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des deux facteurs est nul.

Ainsi une équation de type Mathplace quicklatex.com-36bd50b9c0a0b1ea070f4615590507bc_l3 1. Résolution algébrique d'équations    implique que Mathplace quicklatex.com-a76f8602ea69a4fe033b134488a6bffa_l3 1. Résolution algébrique d'équations    ou Mathplace quicklatex.com-550e95b28ab9bf5ea47021841c4d75b8_l3 1. Résolution algébrique d'équations    .

 

Exemple :

On cherche à résoudre l’équation Mathplace quicklatex.com-66a2aaf4e7ad433a45beabb9b8aa9d9c_l3 1. Résolution algébrique d'équations    .

On a ici un produit de facteur, il vient par conséquent que :

Mathplace quicklatex.com-a01a7c599a25983eb07cd6d30387cd40_l3 1. Résolution algébrique d'équations    ou Mathplace quicklatex.com-16d35497ea084af2932c65fde09a08b2_l3 1. Résolution algébrique d'équations

Mathplace quicklatex.com-ee0630dc69ad75d8239cc0c2e1e2ece6_l3 1. Résolution algébrique d'équations    ou Mathplace quicklatex.com-a5d2af67588ed9f91c856f593bd6bd20_l3 1. Résolution algébrique d'équations

Mathplace quicklatex.com-c4f04915b7c8df891e96c66e2f6ff7d5_l3 1. Résolution algébrique d'équations    ou Mathplace quicklatex.com-a2b0a8e888278cf6935a178d24b4e487_l3 1. Résolution algébrique d'équations

Mathplace quicklatex.com-469bc02dace38453b7abd8528ebf4cf1_l3 1. Résolution algébrique d'équations    ou Mathplace quicklatex.com-a2b0a8e888278cf6935a178d24b4e487_l3 1. Résolution algébrique d'équations

Mathplace quicklatex.com-8cb4decbb60b2606b15bb174b951fb44_l3 1. Résolution algébrique d'équations    ou Mathplace quicklatex.com-a2b0a8e888278cf6935a178d24b4e487_l3 1. Résolution algébrique d'équations

Les solutions de l’équation sont donc Mathplace quicklatex.com-120e9e48ca276e4d20de836f35ea646f_l3 1. Résolution algébrique d'équations    .

 

Théorème

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.

 

Exemple

Résolvons Mathplace quicklatex.com-f66a6895512975440a1fc8e6a758f94d_l3 1. Résolution algébrique d'équations

 

Le dénominateur ne doit pas être nul.

Mathplace quicklatex.com-57b1a344b2fce878fb197c1ecd4d6211_l3 1. Résolution algébrique d'équations

Mathplace quicklatex.com-bbcbf101b82e08dbb8b052269640f2cb_l3 1. Résolution algébrique d'équations    est donc une valeur interdite.

 

Ainsi pour Mathplace quicklatex.com-2cf046aed69d1cdc71cd8870a4048361_l3 1. Résolution algébrique d'équations    le quotient est nul si et seulement si le numérateur Mathplace quicklatex.com-4069e390f6a5ce185b0c9630b20bbff6_l3 1. Résolution algébrique d'équations    est nul.

 

Résoudre l’équation revient donc à résoudre Mathplace quicklatex.com-c1e4eadf59b275cef4b1d706fec7aa8a_l3 1. Résolution algébrique d'équations    .

 

On trouve alors Mathplace quicklatex.com-69db45696c6b2f6ba55624b82ced9967_l3 1. Résolution algébrique d'équations    comme solution de l’équation.

 

Propriété :

Equation de type Mathplace quicklatex.com-bf48e2af074dc3a465f54cc0b3db35a0_l3 1. Résolution algébrique d'équations    :

  • si Mathplace quicklatex.com-ef48f9e581fb48f1b5030059845faa73_l3 1. Résolution algébrique d'équations    , l’équation admet deux solutions qui sont Mathplace quicklatex.com-1f915631d6623da3c9a9b49b9c0ddb8e_l3 1. Résolution algébrique d'équations    ou Mathplace quicklatex.com-476a89fda59cdc1610dd8d856aec6d0d_l3 1. Résolution algébrique d'équations    .
  • si Mathplace quicklatex.com-f0420f6980d3285de1d304876b4fd5fb_l3 1. Résolution algébrique d'équations    , l’équation n’a pas de solution.
  • si Mathplace quicklatex.com-13b9d99266af80c8ffb214c258a9042b_l3 1. Résolution algébrique d'équations    , l’équation se simplifie à Mathplace quicklatex.com-f1df34d3203144f2d51fddf076cb1bf0_l3 1. Résolution algébrique d'équations    .

 

Exemple :

Mathplace quicklatex.com-5532e511d19c941a175d83bf2991e58a_l3 1. Résolution algébrique d'équations    n’a pas de solution car Mathplace quicklatex.com-8077370f90ec46b5b499265e3e0adff5_l3 1. Résolution algébrique d'équations    est négatif.

Mathplace quicklatex.com-0ee565a83174a3ebca36ba67e9e16857_l3 1. Résolution algébrique d'équations    a deux solutions qui sont Mathplace quicklatex.com-782bf23badf124e985dc6ffc4672bc19_l3 1. Résolution algébrique d'équations    ou Mathplace quicklatex.com-42f27ffd4b565eac139ec811b5941650_l3 1. Résolution algébrique d'équations    .

 
 
 

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