1. Résolution algébrique d’équations

Définitions :

• Résoudre une équation consiste à trouver les valeurs possibles des inconnus qui vérifient l’équation.
• Deux équations équivalentes sont deux équations ayant le même ensemble de solutions.

Théorèmes et propriétés

La résolution d’équation nécessite de bien connaître certaines règles de calcul afin de « jongler » avec les chiffres en vue de trouver les inconnus.

Théorèmes :

• L’addition ou la soustraction d’un même nombre aux deux membres d’une équation donne une équation équivalente à celle initiale (ce qui signifie que les solutions de l’équation sont inchangées).
• La multiplication ou la division par un même nombre non nul des deux membres d’une équation donne une équation équivalente à celle initiale.

Exemple :

On cherche à résoudre et donc à trouver la ou les valeurs de  qui vérifient l’équation.

Pour isoler  dans le membre de gauche on additionne dans un premier temps les deux membres par  :

Puis on divise les deux membres par  :

Théorème :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des deux facteurs est nul.

Ainsi une équation de type  implique que  ou .

Exemple :

On cherche à résoudre l’équation .

On a ici un produit de facteur, il vient par conséquent que :

ou 

ou 

ou 

ou

ou

Les solutions de l’équation sont donc .

Théorème

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.

Exemple

Résolvons 

Le dénominateur ne doit pas être nul.

est donc une valeur interdite.

Ainsi pour  le quotient est nul si et seulement si le numérateur  est nul.

Résoudre l’équation revient donc à résoudre .

On trouve alors comme solution de l’équation.

Propriété :

Equation de type :

• si , l’équation admet deux solutions qui sont  ou .
• si , l’équation n’a pas de solution.
• si , l’équation se simplifie à .

Exemple :

n’a pas de solution car  est négatif.

a deux solutions qui sont  ou .