Sujet Progression:

Le raisonnement par récurrence est assez puissant et est très utile dans la résolution des exercices sur les suites.

Le but ici est de prouver qu’une propriété dépendant d’un entier naturel Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 1. Raisonnement par récurrence    (et noté Mathplace quicklatex.com-af571aea1b905798adc81cd3968a4495_l3 1. Raisonnement par récurrence    ) est vraie pour tout entier naturel Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 1. Raisonnement par récurrence    appartenant à Mathplace quicklatex.com-fff378834bfc9caa96f8d5c7a72f270d_l3 1. Raisonnement par récurrence    .

 

Pour cela, 2 points sont à vérifier dans sa démonstration :

 

1/ Existence d’un géniteur :

Il faut vérifier qu’il existe une première valeur pour laquelle Mathplace quicklatex.com-af571aea1b905798adc81cd3968a4495_l3 1. Raisonnement par récurrence    est vraie.

Généralement, il s’agit de vérifier que Mathplace quicklatex.com-6dbb0dd2d37f9918e79b8c0784620b7f_l3 1. Raisonnement par récurrence    (c’est à dire Mathplace quicklatex.com-af571aea1b905798adc81cd3968a4495_l3 1. Raisonnement par récurrence    pour Mathplace quicklatex.com-376610b449f602bd0295a0163fc6287b_l3 1. Raisonnement par récurrence    ) est vraie.

 

2/ Caractère héréditaire :

Pour prouver le caractère héréditaire, on suppose que la propriété Mathplace quicklatex.com-af571aea1b905798adc81cd3968a4495_l3 1. Raisonnement par récurrence    est vraie, et on prouve que Mathplace quicklatex.com-b5dc90e5e8ff3312a20a0120cccbf782_l3 1. Raisonnement par récurrence    est vraie

 

 

Formalisation :

Soit Mathplace quicklatex.com-af571aea1b905798adc81cd3968a4495_l3 1. Raisonnement par récurrence    une propriété dépendant d’un entier naturel Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 1. Raisonnement par récurrence    .

Si :

1. Mathplace quicklatex.com-6dbb0dd2d37f9918e79b8c0784620b7f_l3 1. Raisonnement par récurrence    est vraie

b. Et pour tout entier naturel Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 1. Raisonnement par récurrence    , Mathplace quicklatex.com-af571aea1b905798adc81cd3968a4495_l3 1. Raisonnement par récurrence    est héréditaire, c’est à dire :

Mathplace quicklatex.com-af571aea1b905798adc81cd3968a4495_l3 1. Raisonnement par récurrence    vrai Mathplace quicklatex.com-30aeebde0b95ef1cebf406385a13c207_l3 1. Raisonnement par récurrence    Mathplace quicklatex.com-b5dc90e5e8ff3312a20a0120cccbf782_l3 1. Raisonnement par récurrence    vraie

alors :

Mathplace quicklatex.com-af571aea1b905798adc81cd3968a4495_l3 1. Raisonnement par récurrence    est vraie pour tout entier Mathplace quicklatex.com-0549f408bd91d7ff60942e3e9e1e4cc1_l3 1. Raisonnement par récurrence

 

Exemple :

Soit Mathplace quicklatex.com-b33fc37c92228ca653d4a3bcc88b1c30_l3 1. Raisonnement par récurrence    la suite définie sur par : Mathplace quicklatex.com-3270f54bf3949853603d541cb84118e3_l3 1. Raisonnement par récurrence    et Mathplace quicklatex.com-54dcc875c60b87942e80406801c8434f_l3 1. Raisonnement par récurrence    pour tout Mathplace quicklatex.com-3cf59abeffd5ab5e1039d53a1636ff2c_l3 1. Raisonnement par récurrence    .

Démontrer que la suite Mathplace quicklatex.com-b33fc37c92228ca653d4a3bcc88b1c30_l3 1. Raisonnement par récurrence    est décroissante.

 

Pour démontrer que la suite Mathplace quicklatex.com-b33fc37c92228ca653d4a3bcc88b1c30_l3 1. Raisonnement par récurrence    est décroissante, on peut raisonner par récurrence en démontrant que, pour tout Mathplace quicklatex.com-0549f408bd91d7ff60942e3e9e1e4cc1_l3 1. Raisonnement par récurrence    , la proposition Mathplace quicklatex.com-0e3af54ef98f3a5ef44f55fd5f67b74d_l3 1. Raisonnement par récurrence    est vraie.

 

1/ Initialisation :

On a Mathplace quicklatex.com-3270f54bf3949853603d541cb84118e3_l3 1. Raisonnement par récurrence    et Mathplace quicklatex.com-b921f0464430abd2422d538d5e5a7605_l3 1. Raisonnement par récurrence    donc Mathplace quicklatex.com-609836185a612ccc18ef54fc19b056b5_l3 1. Raisonnement par récurrence    .

Donc, la proposition Mathplace quicklatex.com-0e3af54ef98f3a5ef44f55fd5f67b74d_l3 1. Raisonnement par récurrence    est vraie pour Mathplace quicklatex.com-70d0fa87b41755845181635b98185194_l3 1. Raisonnement par récurrence    .

 

2/ Hérédité :

Ici, on suppose d’abord que la proposition est vraie au rang Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 1. Raisonnement par récurrence    .

Soit Mathplace quicklatex.com-5e2d10ed2cfea6b7ca90cc035d64360c_l3 1. Raisonnement par récurrence    un entier naturel quelconque tel que Mathplace quicklatex.com-77f13659333b6fb0e76240ae302591c3_l3 1. Raisonnement par récurrence    . Alors Mathplace quicklatex.com-b147bb40fb2c0e14c9afaa4a40a28dbc_l3 1. Raisonnement par récurrence

puis, Mathplace quicklatex.com-8930aa8c43bf95199f10e2a0dbd7e16f_l3 1. Raisonnement par récurrence    ou encore Mathplace quicklatex.com-589614323a21d156286cb735ea245268_l3 1. Raisonnement par récurrence    .

Donc la proposition est vraie au rang Mathplace quicklatex.com-5eb7cf9373d1b8ad8ab2c41aaa04447f_l3 1. Raisonnement par récurrence    .

Elle est donc héréditaire.

 

Conclusion :

Pour tout Mathplace quicklatex.com-0549f408bd91d7ff60942e3e9e1e4cc1_l3 1. Raisonnement par récurrence    , la proposition Mathplace quicklatex.com-0e3af54ef98f3a5ef44f55fd5f67b74d_l3 1. Raisonnement par récurrence    est vraie. La suite Mathplace quicklatex.com-b33fc37c92228ca653d4a3bcc88b1c30_l3 1. Raisonnement par récurrence    est donc décroissante.

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