Le raisonnement par récurrence est assez puissant et est très utile dans la résolution des exercices sur les suites.
Le but ici est de prouver qu’une propriété dépendant d’un entier naturel 
(et noté 
) est vraie pour tout entier naturel appartenant à 
.
Pour cela, 2 points sont à vérifier dans sa démonstration :
1/ Existence d’un géniteur :
Il faut vérifier qu’il existe une première valeur pour laquelle est vraie.
Généralement, il s’agit de vérifier que 
(c’est à dire pour 
) est vraie.
2/ Caractère héréditaire :
Pour prouver le caractère héréditaire, on suppose que la propriété est vraie, et on prouve que 
est vraie
Formalisation :
Soit une propriété dépendant d’un entier naturel .
Si :
1. est vraie
b. Et pour tout entier naturel , est héréditaire, c’est à dire :
vrai 
vraie
alors :
est vraie pour tout entier 
Exemple :
Soit 
la suite définie sur par : 
et 
pour tout 
.
Démontrer que la suite est décroissante.
Pour démontrer que la suite est décroissante, on peut raisonner par récurrence en démontrant que, pour tout , la proposition 
est vraie.
1/ Initialisation :
On a et 
donc 
.
Donc, la proposition est vraie pour 
.
2/ Hérédité :
Ici, on suppose d’abord que la proposition est vraie au rang .
Soit 
un entier naturel quelconque tel que 
. Alors 
puis, 
ou encore 
.
Donc la proposition est vraie au rang 
.
Elle est donc héréditaire.
Conclusion :
Pour tout , la proposition est vraie. La suite est donc décroissante.
