Calcul avec les puissances
Les propriétés des puissances ont été vues au Collège. il serait bon de les avoir en tête avant d’aborder ce chapitre :
Pour tout réel et tout entier naturel ,
pour
pour
Notion sur les équations différentielles
Il s’agit ici d’un pré requis à l’introduction de la fonction exponentielle. il est important d’avoir quelques notions d’équations différentielles.
On dit qu’une fonction , dérivable sur un intervalle , est solutions dans de l’équation différentielle si et seulement si, pour tout .
Donc résoudre cette équation différentielle revient à déterminer TOUTES les fonctions solutions de cette équation.
Une équation différentielle de premier ordre fait intervenir une fonction et sa dérivée première .
Propriété :
Si une fonction dérivable sur telle que : et
Alors pour tout , on a et donc
Démonstration :
Soit la fonction
est dérivable sur car est le produit de deux fonctions dérivables sur .
Pour tout réel ,
Comme , on obtient :
La dérivée de est nulle pour tout , ce qui signifie que est une fonction constante sur
Ainsi pour tout , .
En conclusion, pour tout , on a et donc ne s’annule jamais.