Sujet Progression:

Calcul avec les puissances

 

Les propriétés des puissances ont été vues au Collège. il serait bon de les avoir en tête avant d’aborder ce chapitre :

Pour tout réel Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 1. Pré requis    et tout entier naturel Mathplace quicklatex.com-cf51533f6deb489c0d7a0a8f289f1a9d_l3 1. Pré requis    ,

Mathplace quicklatex.com-4e0e8dd5207b0c6a115d3580446af897_l3 1. Pré requis

Mathplace quicklatex.com-e6724da6d94fcc03232abcc7cefa9833_l3 1. Pré requis

Mathplace quicklatex.com-46fb163000cfdea0e5101ad72e3632b0_l3 1. Pré requis    pour Mathplace quicklatex.com-0a1b67b3c60de3d94349fbda4d7e1ae0_l3 1. Pré requis

Mathplace quicklatex.com-30ba00168afb720670a6bbe0196fcad1_l3 1. Pré requis

Mathplace quicklatex.com-a88607f891faa8658d10f310565e27af_l3 1. Pré requis     pour Mathplace quicklatex.com-0a1b67b3c60de3d94349fbda4d7e1ae0_l3 1. Pré requis

Mathplace quicklatex.com-330699e5d43ddd272fa893baf53ebdbd_l3 1. Pré requis

 

 

Notion sur les équations différentielles

 

Il s’agit ici d’un pré requis à l’introduction de la fonction exponentielle. il est important d’avoir quelques notions d’équations différentielles.

On dit qu’une fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Pré requis    , dérivable sur un intervalle Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 1. Pré requis    , est solutions dans Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 1. Pré requis    de l’équation différentielle Mathplace quicklatex.com-6a8d07c53bb5a8c1c93a05ed78c7e673_l3 1. Pré requis    si et seulement si, pour tout Mathplace quicklatex.com-8bb0bff01f91ecbd94d5d4140940ba2d_l3 1. Pré requis    .

Donc résoudre cette équation différentielle revient à déterminer TOUTES les fonctions solutions de cette équation.

 

Une équation différentielle de premier ordre fait intervenir une fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Pré requis    et sa dérivée première Mathplace quicklatex.com-0f5dd43cbab94fdbecebab75a69dc1fc_l3 1. Pré requis    .

 

Propriété :

Si une fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Pré requis    dérivable sur Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 1. Pré requis     telle que : Mathplace quicklatex.com-2869277e72b36ab89869d0c02c0a5761_l3 1. Pré requis    et Mathplace quicklatex.com-cd3319bded972efbe1d0988b3eca656d_l3 1. Pré requis

Alors pour tout Mathplace quicklatex.com-547d2689518828891ee417229b452d33_l3 1. Pré requis    , on a Mathplace quicklatex.com-3f142ea25661b1b0fd3fddd01a014abc_l3 1. Pré requis     et donc Mathplace quicklatex.com-c898d671c062d0b7cdbe2e5448a0f131_l3 1. Pré requis

 

Démonstration :

Soit la fonction Mathplace quicklatex.com-136f60db81ca6556bf1b70b761542718_l3 1. Pré requis

Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 1. Pré requis     est dérivable sur Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 1. Pré requis     car Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 1. Pré requis    est le produit de deux fonctions dérivables sur Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 1. Pré requis    .

 

Pour tout réel Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 1. Pré requis    ,

Mathplace quicklatex.com-29046fb8acd2e87d6b7c44d4b8a55c3e_l3 1. Pré requis

Mathplace quicklatex.com-112da49765158181c9a634babbc87e77_l3 1. Pré requis

 

Comme Mathplace quicklatex.com-2869277e72b36ab89869d0c02c0a5761_l3 1. Pré requis    , on obtient :

Mathplace quicklatex.com-f57e46dd7942a74e21597ee81a8c0357_l3 1. Pré requis

 

La dérivée de Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 1. Pré requis    est nulle pour tout Mathplace quicklatex.com-d6f1a3e0765cf053a0ba611ff68a2613_l3 1. Pré requis    , ce qui signifie que Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 1. Pré requis    est une fonction constante sur Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 1. Pré requis

Ainsi pour tout Mathplace quicklatex.com-d6f1a3e0765cf053a0ba611ff68a2613_l3 1. Pré requis    Mathplace quicklatex.com-bee345b134fc06550a099e7c2884a8e1_l3 1. Pré requis    .

 

En conclusion, pour tout Mathplace quicklatex.com-d6f1a3e0765cf053a0ba611ff68a2613_l3 1. Pré requis    , on a Mathplace quicklatex.com-3f142ea25661b1b0fd3fddd01a014abc_l3 1. Pré requis    et donc Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Pré requis    ne s’annule jamais.

 
 
 

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