1. Introduction

Sujet Progression:

Vocabulaire :

Une expérience aléatoire comporte la notion de hasard. Les résultats possibles d’une expérience aléatoire sont aussi appelés issues.

Notons ces issues $Mathplace quicklatex.com-071071cd739d8d3bf7db31fd97f6dfd6_l3 1. Introduction$ . L’ensemble de ces issues est appelé univers de l’expérience aléatoire et il est noté $Mathplace quicklatex.com-3d7e536ebfc063b029e551cde4e3c1c3_l3 1. Introduction$ .

On a alors $Mathplace quicklatex.com-146a436cf376afaed51dff96c28a57f4_l3 1. Introduction$

Si $Mathplace quicklatex.com-845bc52c44765adc127dbc48e0102ef5_l3 1. Introduction$ est un ensemble fini, le nombre d’éléments de cet ensemble $Mathplace quicklatex.com-845bc52c44765adc127dbc48e0102ef5_l3 1. Introduction$ est appelé cardinal de $Mathplace quicklatex.com-845bc52c44765adc127dbc48e0102ef5_l3 1. Introduction$ . On le note $Mathplace quicklatex.com-110882ec06bb0f8c5ec8fb5b69e7a18a_l3 1. Introduction$
Un événement $Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction$ est un sous-ensemble de l’univers : $Mathplace quicklatex.com-dbf731409924721cbceed8b4d33bc64c_l3 1. Introduction$
Un événement élément est comosé d’une seule issue

Probabilité

A chaque événement élémentaire $Mathplace quicklatex.com-f3aa9d947fcd2c83fb21c01d0564eefd_l3 1. Introduction$ , on associe sa probabilité $Mathplace quicklatex.com-59a52f943b7d3cfaa9c1e79490342c17_l3 1. Introduction$ , noté $Mathplace quicklatex.com-ce8e5409aab27f1df71a0c941e647fba_l3 1. Introduction$

Cette probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, et on a

$Mathplace quicklatex.com-a77c93cabcc369c3465c195106ede5e0_l3 1. Introduction$ (événement certain) et $Mathplace quicklatex.com-4e2c37644a383367f3e56e0357ce1282_l3 1. Introduction$ (événement impossible)

Evénement contraire, intersection et réunions dévénements

On appelle événement contraire de $Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction$ l’ensemble de toutes les issues qui ne sont pas dans $Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction$ .

On le note $Mathplace quicklatex.com-b26f1718b95e8d4994e716b3ddc5182e_l3 1. Introduction$ , et on a $Mathplace quicklatex.com-ef583d8c53028efce224f09b5ed210d2_l3 1. Introduction$

On appelle intersection des événements $Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction$ et $Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 1. Introduction$ l’ensemble de toutes les issues qui sont dans $Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction$ et dans $Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 1. Introduction$ .

On le note $Mathplace quicklatex.com-dc8a63cb70b1982cd6d5fcf31cfad335_l3 1. Introduction$ ,

On appelle réunion des événements $Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction$ et $Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 1. Introduction$ l’ensemble de toutes les issues qui sont dans $Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction$ ou dans $Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 1. Introduction$ .

On le note $Mathplace quicklatex.com-9e8bb22ebaf444844fe340a56cac1ca5_l3 1. Introduction$ ,

On dit que deux événements $Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction$ et $Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 1. Introduction$ sont incompatibles si leur intersection est vide. Dans ce cas, on a $Mathplace quicklatex.com-14506041022902030711e092bfde7bc9_l3 1. Introduction$ ,

Ainsi :

$Mathplace quicklatex.com-1023471e5ad93cf6d32dbd500c410362_l3 1. Introduction$

Si A et B sont incompatibles, alors $Mathplace quicklatex.com-acaeea7e97c0110d00ba3eaf6464cd27_l3 1. Introduction$

Variables aléatoires

Définition :

On parle de Variable aléatoire sur l’ensemble ? lorsqu’on associe un nombre réel à chaque éventualité de l’expérience aléatoire.

Définition :

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction$ est donnée par l’ensemble des valeurs $Mathplace quicklatex.com-61dc723cb74ce93fdb0a455375ac8627_l3 1. Introduction$ prises par la variables aléatoires et les probabilités $Mathplace quicklatex.com-922b302674e618e3bf1dc71a281865ba_l3 1. Introduction$ pour toutes les valeurs $Mathplace quicklatex.com-a6b2a8bab1662e205a655f18dae39e12_l3 1. Introduction$ prises par $Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction$

Definition :

L’espérance de la variable aléatoire $Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction$ est le nombre, noté $Mathplace quicklatex.com-fcb6b7f48152cdeadf34abe0f656a55e_l3 1. Introduction$ , défini par :

Mathplace quicklatex.com-513c82988e609382dadcf4620b27f6ad_l3 1. Introduction

Définition :

La variance $Mathplace quicklatex.com-3349c03e938fd55d32d2401cb2ffcd24_l3 1. Introduction$ et l’écart-type $Mathplace quicklatex.com-49d59bae64d9d3c14813fa1b6d776cd6_l3 1. Introduction$ d’une variable aléatoire $Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction$ sont définis par :

Mathplace quicklatex.com-d4ad7a5ebf67ec5619d97cad433f525d_l3 1. Introduction

Et $Mathplace quicklatex.com-ae036ded1d85c941aaaa2df50458fea5_l3 1. Introduction$

Propriété :

Si $Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction$ est une variable aléatoire, on a $Mathplace quicklatex.com-d05579a39263905ec757aad6557126c8_l3 1. Introduction$

Définition :

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire comportant deux issues, l’une appelée « succès », l’autre appelée « échec ».

Soit $Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction$ la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de réussite et la valeur $Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 1. Introduction$ en cas d’échec.

La variable aléatoire $Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction$ est appelée variable de Bernoulli et la loi de probabilité de $Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction$ est appelée loi de Bernoulli.

On note $Mathplace quicklatex.com-a2574fa96fea6934566428407b2dbe91_l3 1. Introduction$ la probabilité de réussir et donc $Mathplace quicklatex.com-ac6009eff2adfc8c822415f43e812d56_l3 1. Introduction$ la probabilité d’échouer.

D’où $Mathplace quicklatex.com-43efdbf1dc0e69b41ed296e45cf47eb4_l3 1. Introduction$ et $Mathplace quicklatex.com-fcb7adab830d6a4a2380c37f8864ddb9_l3 1. Introduction$ .

Expériences identiques et indépendantes

On considère une expérience aléatoire formée par la répétition d’expériences identiques ayant chacune deux éventualités.

Définition :

Soit $Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction$ la variable aléatoire définie par le nombre de succès dans la répétition n fois, de façon indépendante, d’une épreuve ayant deux issues, succès et échec, pour laquelle la probabilité du succès est égale à $Mathplace quicklatex.com-a2574fa96fea6934566428407b2dbe91_l3 1. Introduction$ .

La loi de probabilité de $Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction$ s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p, notée $Mathplace quicklatex.com-a742dc53740da0c327f59fb9ed0ea4b2_l3 1. Introduction$

Propriété :

La variable aléatoire $Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction$ prend les $Mathplace quicklatex.com-5eb7cf9373d1b8ad8ab2c41aaa04447f_l3 1. Introduction$ valeurs $Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 1. Introduction$ , $Mathplace quicklatex.com-2d70fbbeab864d4b5bb1e63100a882f9_l3 1. Introduction$ , … , $Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 1. Introduction$ avec les probabilités :

$Mathplace quicklatex.com-f497f1dc9dd9fb6f7cf9255cb860bc44_l3 1. Introduction$ pour tout entier $Mathplace quicklatex.com-5e2d10ed2cfea6b7ca90cc035d64360c_l3 1. Introduction$ tel que $Mathplace quicklatex.com-676be5343fc986c45edac29bcb7c3bdb_l3 1. Introduction$ .

$Mathplace quicklatex.com-e1b9a4bd463f34d7cf9424369cf8ba3e_l3 1. Introduction$ et $Mathplace quicklatex.com-13b33cbd0321f326399056fd4fdf6dec_l3 1. Introduction$ .