Sujet Progression:

Vocabulaire :

Une expérience aléatoire comporte la notion de hasard. Les résultats possibles d’une expérience aléatoire sont aussi appelés issues.

Notons ces issues Mathplace quicklatex.com-071071cd739d8d3bf7db31fd97f6dfd6_l3 1. Introduction    . L’ensemble de ces issues est appelé univers de l’expérience aléatoire et il est noté Mathplace quicklatex.com-3d7e536ebfc063b029e551cde4e3c1c3_l3 1. Introduction    .

On a alors Mathplace quicklatex.com-146a436cf376afaed51dff96c28a57f4_l3 1. Introduction

  • Si Mathplace quicklatex.com-845bc52c44765adc127dbc48e0102ef5_l3 1. Introduction    est un ensemble fini, le nombre d’éléments de cet ensemble Mathplace quicklatex.com-845bc52c44765adc127dbc48e0102ef5_l3 1. Introduction    est appelé cardinal de Mathplace quicklatex.com-845bc52c44765adc127dbc48e0102ef5_l3 1. Introduction    . On le note Mathplace quicklatex.com-110882ec06bb0f8c5ec8fb5b69e7a18a_l3 1. Introduction
  • Un événement Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction    est un sous-ensemble de l’univers : Mathplace quicklatex.com-dbf731409924721cbceed8b4d33bc64c_l3 1. Introduction
  • Un événement élément est comosé d’une seule issue

 

 

Probabilité

  • A chaque événement élémentaire Mathplace quicklatex.com-f3aa9d947fcd2c83fb21c01d0564eefd_l3 1. Introduction    , on associe sa probabilité Mathplace quicklatex.com-59a52f943b7d3cfaa9c1e79490342c17_l3 1. Introduction    , noté Mathplace quicklatex.com-ce8e5409aab27f1df71a0c941e647fba_l3 1. Introduction

Cette probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, et on a 

  • Mathplace quicklatex.com-a77c93cabcc369c3465c195106ede5e0_l3 1. Introduction    (événement certain) et Mathplace quicklatex.com-4e2c37644a383367f3e56e0357ce1282_l3 1. Introduction    (événement impossible)

 

 

Evénement contraire, intersection et réunions dévénements

On appelle événement contraire de Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction      l’ensemble de toutes les issues qui ne sont pas dans Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction     .

On le note Mathplace quicklatex.com-b26f1718b95e8d4994e716b3ddc5182e_l3 1. Introduction    , et on a Mathplace quicklatex.com-ef583d8c53028efce224f09b5ed210d2_l3 1. Introduction

On appelle intersection des événements Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction     et Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 1. Introduction     l’ensemble de toutes les issues qui sont dans Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction     et dans Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 1. Introduction    .

On le note Mathplace quicklatex.com-dc8a63cb70b1982cd6d5fcf31cfad335_l3 1. Introduction    ,

 

On appelle réunion des événements Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction     et Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 1. Introduction     l’ensemble de toutes les issues qui sont dans Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction     ou dans Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 1. Introduction    .

On le note Mathplace quicklatex.com-9e8bb22ebaf444844fe340a56cac1ca5_l3 1. Introduction    ,

 

On dit que deux événements Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Introduction     et Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 1. Introduction    sont incompatibles si leur intersection est vide. Dans ce cas, on a Mathplace quicklatex.com-14506041022902030711e092bfde7bc9_l3 1. Introduction    ,

 

Ainsi :

Mathplace quicklatex.com-1023471e5ad93cf6d32dbd500c410362_l3 1. Introduction

Si A et B sont incompatibles, alors Mathplace quicklatex.com-acaeea7e97c0110d00ba3eaf6464cd27_l3 1. Introduction

 

 

Variables aléatoires

 

Définition :

On parle de Variable aléatoire sur l’ensemble ? lorsqu’on associe un nombre réel à chaque éventualité de l’expérience aléatoire.

 

Définition :

La loi de probabilité d’une variable aléatoire Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction    est donnée par l’ensemble des valeurs Mathplace quicklatex.com-61dc723cb74ce93fdb0a455375ac8627_l3 1. Introduction     prises par la variables aléatoires et les probabilités Mathplace quicklatex.com-922b302674e618e3bf1dc71a281865ba_l3 1. Introduction    pour toutes les valeurs Mathplace quicklatex.com-a6b2a8bab1662e205a655f18dae39e12_l3 1. Introduction    prises par Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction

 

Definition :

L’espérance de la variable aléatoire Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction    est le nombre, noté Mathplace quicklatex.com-fcb6b7f48152cdeadf34abe0f656a55e_l3 1. Introduction    , défini par :

    Mathplace quicklatex.com-513c82988e609382dadcf4620b27f6ad_l3 1. Introduction

 

Définition :

La variance Mathplace quicklatex.com-3349c03e938fd55d32d2401cb2ffcd24_l3 1. Introduction    et l’écart-type Mathplace quicklatex.com-49d59bae64d9d3c14813fa1b6d776cd6_l3 1. Introduction    d’une variable aléatoire Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction    sont définis par :

    Mathplace quicklatex.com-d4ad7a5ebf67ec5619d97cad433f525d_l3 1. Introduction

Et Mathplace quicklatex.com-ae036ded1d85c941aaaa2df50458fea5_l3 1. Introduction

 

Propriété :

Si Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction    est une variable aléatoire, on a Mathplace quicklatex.com-d05579a39263905ec757aad6557126c8_l3 1. Introduction

 

 

Définition :

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire comportant deux issues, l’une appelée « succès », l’autre appelée « échec ».

Soit Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction    la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de réussite et la valeur Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 1. Introduction     en cas d’échec.

La variable aléatoire Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction    est appelée variable de Bernoulli et la loi de probabilité de Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction    est appelée loi de Bernoulli.

On note Mathplace quicklatex.com-a2574fa96fea6934566428407b2dbe91_l3 1. Introduction    la probabilité de réussir et donc Mathplace quicklatex.com-ac6009eff2adfc8c822415f43e812d56_l3 1. Introduction    la probabilité d’échouer.

D’où Mathplace quicklatex.com-43efdbf1dc0e69b41ed296e45cf47eb4_l3 1. Introduction    et Mathplace quicklatex.com-fcb7adab830d6a4a2380c37f8864ddb9_l3 1. Introduction    .

 

 

Expériences identiques et indépendantes

 

On considère une expérience aléatoire formée par la répétition d’expériences identiques ayant chacune deux éventualités.

 

Définition :

Soit Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction    la variable aléatoire définie par le nombre de succès dans la répétition n fois, de façon indépendante, d’une épreuve ayant deux issues, succès et échec, pour laquelle la probabilité du succès est égale à Mathplace quicklatex.com-a2574fa96fea6934566428407b2dbe91_l3 1. Introduction    .

La loi de probabilité de Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction    s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p, notée Mathplace quicklatex.com-a742dc53740da0c327f59fb9ed0ea4b2_l3 1. Introduction

 

Propriété :

La variable aléatoire Mathplace quicklatex.com-54bc065c0033e537dbb9003f31cb4b9b_l3 1. Introduction    prend les Mathplace quicklatex.com-5eb7cf9373d1b8ad8ab2c41aaa04447f_l3 1. Introduction    valeurs Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 1. Introduction    , Mathplace quicklatex.com-2d70fbbeab864d4b5bb1e63100a882f9_l3 1. Introduction    , … , Mathplace quicklatex.com-68ba7a600f8e289112c690562378fca5_l3 1. Introduction    avec les probabilités :

Mathplace quicklatex.com-f497f1dc9dd9fb6f7cf9255cb860bc44_l3 1. Introduction     pour tout entier Mathplace quicklatex.com-5e2d10ed2cfea6b7ca90cc035d64360c_l3 1. Introduction    tel que Mathplace quicklatex.com-676be5343fc986c45edac29bcb7c3bdb_l3 1. Introduction    .

Mathplace quicklatex.com-e1b9a4bd463f34d7cf9424369cf8ba3e_l3 1. Introduction    et Mathplace quicklatex.com-13b33cbd0321f326399056fd4fdf6dec_l3 1. Introduction    .

Le nombre Mathplace quicklatex.com-5fc47b1bff2057afefa3c3541c6d3f15_l3 1. Introduction    s’appelle un coefficient binomial.

 
 
 

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