Vocabulaire :
Une expérience aléatoire comporte la notion de hasard. Les résultats possibles d’une expérience aléatoire sont aussi appelés issues.
Notons ces issues . L’ensemble de ces issues est appelé univers de l’expérience aléatoire et il est noté .
On a alors
- Si est un ensemble fini, le nombre d’éléments de cet ensemble est appelé cardinal de . On le note
- Un événement est un sous-ensemble de l’univers :
- Un événement élément est comosé d’une seule issue
Probabilité
- A chaque événement élémentaire , on associe sa probabilité , noté
Cette probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, et on a
- (événement certain) et (événement impossible)
Evénement contraire, intersection et réunions dévénements
On appelle événement contraire de l’ensemble de toutes les issues qui ne sont pas dans .
On le note , et on a
On appelle intersection des événements et l’ensemble de toutes les issues qui sont dans et dans .
On le note ,
On appelle réunion des événements et l’ensemble de toutes les issues qui sont dans ou dans .
On le note ,
On dit que deux événements et sont incompatibles si leur intersection est vide. Dans ce cas, on a ,
Ainsi :
Si A et B sont incompatibles, alors
Variables aléatoires
Définition :
On parle de Variable aléatoire sur l’ensemble ? lorsqu’on associe un nombre réel à chaque éventualité de l’expérience aléatoire.
Définition :
La loi de probabilité d’une variable aléatoire est donnée par l’ensemble des valeurs prises par la variables aléatoires et les probabilités pour toutes les valeurs prises par
Definition :
L’espérance de la variable aléatoire est le nombre, noté , défini par :
Définition :
La variance et l’écart-type d’une variable aléatoire sont définis par :
Et
Propriété :
Si est une variable aléatoire, on a
Définition :
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire comportant deux issues, l’une appelée « succès », l’autre appelée « échec ».
Soit la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de réussite et la valeur en cas d’échec.
La variable aléatoire est appelée variable de Bernoulli et la loi de probabilité de est appelée loi de Bernoulli.
On note la probabilité de réussir et donc la probabilité d’échouer.
D’où et .
Expériences identiques et indépendantes
On considère une expérience aléatoire formée par la répétition d’expériences identiques ayant chacune deux éventualités.
Définition :
Soit la variable aléatoire définie par le nombre de succès dans la répétition n fois, de façon indépendante, d’une épreuve ayant deux issues, succès et échec, pour laquelle la probabilité du succès est égale à .
La loi de probabilité de s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p, notée
Propriété :
La variable aléatoire prend les valeurs , , … , avec les probabilités :
pour tout entier tel que .
et .
Le nombre s’appelle un coefficient binomial.