1. Intégrale d’une fonction continue et positive

A – Définitions

Définition

Le plan est muni d’un repère orthonormé

L’unité d’aire utilisée pour mesurer les aires est l’aire du rectangle tel que  et .

On dit qu’une fonction est positive sur un intervalle si, pour tout x de , est positif : .

 

 

Définition :

Soit une fonction définie sur l’intervalle , continue et positive sur . On appelle  le domaine du plan limité par la courbe  représentant , l’axe des abscisses et les droites d’équation et .

On appelle intégrale de la fonction sur  la mesure de l’aire du domaine en unités d’aire.

Ce nombre est noté : 

 

Remarques :

• Dans l’écriture,  la lettre  peut être remplacée par n’importe quelle autre lettre. C’est une variable muette.

Ce qui veut dire que

• Le nombre  se lit « intégrale de à de » ou « somme de à de »
• Les réels et sont appelés les bornes de l’intégrale.
• La notation « » a pour origine la largeur des rectangles utilisées pour l’approximation. Cette largeur multiplie les valeurs prises par la fonction. La notation est notamment indispensable quand il existe plusieurs lettres dans la fonction et donc pour préciser quelle est la variable (par exemple pour la fonction , « dx » désigne quelle est la variable de la fonction).

 

 

Exemple1 :

Calcul de et , a et b étant des nombres réels tels que .

 

 

On se place dans un repère orthonormé.

Pour le calcul de B et C, la fonction est une fonction constante.

B est l’aire de rectangle et on obtient : 

et

 

 

Exemple 2 :

On a tracé la représentation graphique d’une fonction sur 

<image de séquence bac page 144>

En utilisant le quadrillage, calculer :

a) l’aire du domaine colorié, en unité d’aire

b)

 

 

L’unité d’aire est un carreau du quadrillage

Soit l’aire recherchée, c’est à dire l’aire du domaine colorié et désigne l’aire du triangle ACI

On lit

b) f est continue et positif sur 

donc 

 

 

B – Propriétés

Propriété 1 :

Soit une fonction définie sur l’intervalle , continue et positive sur .

Pour tout réel c de l’intervalle ,

 

Propriété 2 :

Soit une fonction définie sur l’intervalle , continue et positive sur .

Alors

 

Propriété 3 : Comparaison

Soit et deux fonctions définies sur l’intervalle , continues et positives sur , telles que , c’est à dire telles que  pour tout x de 

Alors, 

 

Propriété 4 : Relation de Chasles

Soit une fonction définie sur l’intervalle , continue et positive sur .

Soit un nombre de l’intervalle , alors

 

Remarque :

Vous remarquerez l’analogie avec la relation vectorielle . Cette égalité entre des intégrales est appelée « relation de Chasles ».

 

Définition valeur moyenne :

La valeur moyenne d’une fonction définie sur l’intervalle  avec , continue et positive sur , est égale au nombre 

 

Propriété 5 : Inégalités de la moyenne

Soit une fonction définie sur l’intervalle  avec , continue et positive sur , et deux nombres et tels que, pour tout de l’intervalle , on a 

Alors

 

 

Pour démontrer cette propriété, on utilise la propriété de comparaison :

Si

Alors

D’où

Et en divisant par qui est strictement positif, on a :

 

 

C – Intégration et dérivation

Théorème :

Soit une fonction continue et positive sur , la fonction définie sur  par  est dérivable sur  et sa fonction dérivée est la fonction

 

 

Démonstration :

Pour cette démonstration, on se met dans le cas d’une fonction positive et croissante sur un intervalle .

Le théorème est admis dans les autres cas.

On note la fonction définie telle que : .

est égale à la mesure de l’aire du plan délimité par la courbe représentant , l’axe des abscisses, la droite des points d’abscisses a et la droite des points d’abscisse x.

L’astuce ici est d’encadrer le quotient .

 

2 cas de figures :

 

Cas 1 :  

L’aire du domaine colorié en foncé est : 

L’aire du domaine formé par la réunion du domaine colorié en foncé et du domaine colorié en clair est : 

D’après la relation de Chasles :

Soit

Soit 

est l’aire de la partie en clair.

Ici est croissante sur , donc pour tout , 

D’après la propriété sur les inégalités de la moyenne, en remplaçant m par et M par , on a : 

Soit, 

 

Cas 2 :

L’aire du domaine colorié en foncé est :  

L’aire du domaine formé par la réunion du domaine colorié en foncé et du domaine colorié en clair est : 

D’après la relation de Chasles :

Soit

Soit 

est l’aire de la partie en clair.

Ici est croissante sur , donc pour tout , 

D’après la propriété sur les inégalités de la moyenne, en remplaçant m par et M par , on a : 

Soit, 

 

Ainsi, le quotient  est encadré par et .

Or comme est continue sur , on a pour tout x de , 

 

En conséquence, d’après le théorème des gendarmes : 

Ce qui prouve bien que est dérivable en pour tout de  et que