Sujet Progression:

A – Définitions

Définition

Le plan est muni d’un repère orthonormé Mathplace quicklatex.com-aa34e73ae6174b8ff69d977881f1a3d2_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

L’unité d’aire utilisée pour mesurer les aires est l’aire du rectangle Mathplace quicklatex.com-e6e5b9bf6cd96c15fd0adf27ce3cb032_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive tel que Mathplace quicklatex.com-cc60a8c0eca34b4e5ed88aaeba5e277f_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive et Mathplace quicklatex.com-1160361c9f3f3f5097bc7c05e391d79e_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive.

On dit qu’une fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive est positive sur un intervalle Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive si, pour tout x de Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, Mathplace quicklatex.com-c9c0173f3305546e3c08d2ee704f8308_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive est positif : Mathplace quicklatex.com-649f9dae1959f121f30a1d545eb2ce32_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive.

 

Mathplace cours_tleS_integration01 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

Définition :

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive une fonction définie sur l’intervalle Mathplace quicklatex.com-62cfa64446dad865a04a2f69ea27873a_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, continue et positive sur Mathplace quicklatex.com-62cfa64446dad865a04a2f69ea27873a_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive. On appelle Mathplace quicklatex.com-ee5667a2dca9784d59a7b39409253531_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive le domaine du plan limité par la courbe Mathplace quicklatex.com-4e6887e384866ead8e4cd4dea11e4eda_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive représentant Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, l’axe des abscisses et les droites d’équation Mathplace quicklatex.com-9dacf062d5944857f79f8ce23f97ddac_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive et Mathplace quicklatex.com-ea9e70221297a65d3fa46fc45aef5f46_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive.

On appelle intégrale de la fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive sur Mathplace quicklatex.com-62cfa64446dad865a04a2f69ea27873a_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive la mesure de l’aire du domaine Mathplace quicklatex.com-ee5667a2dca9784d59a7b39409253531_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive en unités d’aire.

Ce nombre est noté : Mathplace quicklatex.com-9431d88e31b98a1c52a1c86a9c1388f1_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

Remarques :

  • Dans l’écriture, Mathplace quicklatex.com-9431d88e31b98a1c52a1c86a9c1388f1_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive la lettre Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive  peut être remplacée par n’importe quelle autre lettre. C’est une variable muette.

Ce qui veut dire que Mathplace quicklatex.com-a40d8cd146c5859a3e3d014f1ab02fcd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

  • Le nombre Mathplace quicklatex.com-9431d88e31b98a1c52a1c86a9c1388f1_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive se lit « intégrale de Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive à Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive de Mathplace quicklatex.com-bbdb7ef83c7634ad18cd9237e72ddf31_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive Mathplace quicklatex.com-d3675ba267d52c71bd5f05ab50e1900f_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive » ou « somme de Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive à Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive de Mathplace quicklatex.com-bbdb7ef83c7634ad18cd9237e72ddf31_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive Mathplace quicklatex.com-d3675ba267d52c71bd5f05ab50e1900f_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive »
  • Les réels Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive et Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive sont appelés les bornes de l’intégrale.
  • La notation « Mathplace quicklatex.com-d3675ba267d52c71bd5f05ab50e1900f_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive » a pour origine la largeur des rectangles utilisées pour l’approximation. Cette largeur multiplie les valeurs prises par la fonction. La notation Mathplace quicklatex.com-d3675ba267d52c71bd5f05ab50e1900f_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive est notamment indispensable quand il existe plusieurs lettres dans la fonction et donc pour préciser quelle est la variable (par exemple pour la fonction Mathplace quicklatex.com-732c66a06b3401eebf42fe448718eec5_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, « dx » désigne quelle est la variable de la fonction).

 

 

Exemple1 :

Calcul de Mathplace quicklatex.com-328f2c573ce1e67df443cbaafda589fa_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive et Mathplace quicklatex.com-425c61b5ed5790066391cbefb3a61fdc_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, a et b étant des nombres réels tels que Mathplace quicklatex.com-902e9cb1b9e1ddb5eecc3f9324a50a83_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive.

 

Mathplace cours_tleS_integration02-1024x522 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

On se place dans un repère orthonormé.

Pour le calcul de B et C, la fonction est une fonction constante.

B est l’aire de rectangle et on obtient : Mathplace quicklatex.com-da1a7c5989e295801e7cd98c32ae9b86_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

et Mathplace quicklatex.com-d5a44a81aa2939c16c2a516693513fe9_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

 

Exemple 2 :

On a tracé la représentation graphique d’une fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive sur 

<image de séquence bac page 144>

En utilisant le quadrillage, calculer :

a) l’aire du domaine colorié, en unité d’aire

b) Mathplace quicklatex.com-64223aa3b7eb10514728455f889f72a3_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

 

L’unité d’aire est un carreau du quadrillage

Soit Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive l’aire recherchée, c’est à dire l’aire du domaine colorié et désigne l’aire du triangle ACI

On lit Mathplace quicklatex.com-67d643fe4614f62872f9ac6c9bd1a169_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

b) f est continue et positif sur 

donc Mathplace quicklatex.com-127693e27b83220d8fcd096140dbf984_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

 

B – Propriétés

Propriété 1 :

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive une fonction définie sur l’intervalle Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, continue et positive sur Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive.

Pour tout réel c de l’intervalle Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, Mathplace quicklatex.com-d056ef9894161a5d66c5244fe8c90bc4_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

Propriété 2 :

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive une fonction définie sur l’intervalle Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, continue et positive sur Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive.

Alors Mathplace quicklatex.com-a670488e2c850861ee4e07906f3ce710_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

Propriété 3 : Comparaison

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive et Mathplace quicklatex.com-f87fdaff71b8bc3913ae3f27c24b34c5_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive deux fonctions définies sur l’intervalle Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, continues et positives sur Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, telles que Mathplace quicklatex.com-d2badac970070ea30aef1dedf0e6e726_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, c’est à dire telles que Mathplace quicklatex.com-a22c10bc975eaaccb95203182039a539_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive pour tout x de Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

Alors, Mathplace quicklatex.com-53e0815bb493ed71190ff7e46fe00814_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

Propriété 4 : Relation de Chasles

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive une fonction définie sur l’intervalle Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, continue et positive sur Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive.

Soit Mathplace quicklatex.com-897b1a907e258fe11fc06917581a0cc2_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive un nombre de l’intervalle Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, alors Mathplace quicklatex.com-242c352376347fac5160c410df7b3664_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

Remarque :

Vous remarquerez l’analogie avec la relation vectorielle Mathplace quicklatex.com-bfa780c85a6c7e4c372d31338f62b144_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive. Cette égalité entre des intégrales est appelée « relation de Chasles ».

 

Définition valeur moyenne :

La valeur moyenne d’une fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive définie sur l’intervalle Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive avec Mathplace quicklatex.com-a7f6c8274c8b97d397b3e5a5b1fa9adb_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, continue et positive sur Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, est égale au nombre Mathplace quicklatex.com-876db649493430b9a02786f655c2d8a5_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

Propriété 5 : Inégalités de la moyenne

Soit une fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive définie sur l’intervalle Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive avec Mathplace quicklatex.com-a7f6c8274c8b97d397b3e5a5b1fa9adb_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, continue et positive sur Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, et deux nombres Mathplace quicklatex.com-6717e95dbdb7b30961ea5fcb3918a660_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive et Mathplace quicklatex.com-2c8c3703bbb3e5afe2853cae9fc4a248_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive tels que, pour tout Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive de l’intervalle Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, on a Mathplace quicklatex.com-334ae85479ca61c4e0bb96c0859bf697_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

Alors Mathplace quicklatex.com-7b487e1af9d40b26b90cd10d7eb4bd22_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

Mathplace cours_tleS_integration03-1024x569 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

Pour démontrer cette propriété, on utilise la propriété de comparaison :

Si Mathplace quicklatex.com-19b90c4272f77aee14c36c7a6de1aa81_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

Alors Mathplace quicklatex.com-316813edbd73b340f65f2722852261b8_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

D’où

Mathplace quicklatex.com-189659d849225bfc1ef95bed4bb1ce05_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

Et en divisant par Mathplace quicklatex.com-79ed159cfc737d5022dd7b3d889ecf90_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive qui est strictement positif, on a :

Mathplace quicklatex.com-7b487e1af9d40b26b90cd10d7eb4bd22_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

 

C – Intégration et dérivation

Théorème :

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive une fonction continue et positive sur Mathplace quicklatex.com-62cfa64446dad865a04a2f69ea27873a_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, la fonction définie sur Mathplace quicklatex.com-62cfa64446dad865a04a2f69ea27873a_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive par Mathplace quicklatex.com-d1eaddfe940a6dce85265a6695a00050_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive est dérivable sur Mathplace quicklatex.com-62cfa64446dad865a04a2f69ea27873a_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive et sa fonction dérivée est la fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

 

Démonstration :

Pour cette démonstration, on se met dans le cas d’une fonction Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive positive et croissante sur un intervalle Mathplace quicklatex.com-62cfa64446dad865a04a2f69ea27873a_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive.

Le théorème est admis dans les autres cas.

On note Mathplace quicklatex.com-80e0b2a0583851357ecaf3f410b1e082_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive la fonction définie telle que : Mathplace quicklatex.com-d1eaddfe940a6dce85265a6695a00050_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive.

Mathplace quicklatex.com-80e0b2a0583851357ecaf3f410b1e082_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive est égale à la mesure de l’aire du plan délimité par la courbe Mathplace quicklatex.com-4e6887e384866ead8e4cd4dea11e4eda_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive représentant Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, l’axe des abscisses, la droite des points d’abscisses a et la droite des points d’abscisse x.

L’astuce ici est d’encadrer le quotient Mathplace quicklatex.com-c4c8c74916e619f2158496d6a3525491_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive.

 

2 cas de figures :

 

Cas 1 : Mathplace quicklatex.com-3dfef57b56f0cb45cdf1e478b6787ec7_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive 

L’aire du domaine colorié en foncé est : Mathplace quicklatex.com-cc5a2530ce87871c3ef477eb5e87aa0c_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

L’aire du domaine formé par la réunion du domaine colorié en foncé et du domaine colorié en clair est : Mathplace quicklatex.com-0ef0262034fc61507436b416d7fcea12_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

D’après la relation de Chasles :

Mathplace quicklatex.com-0deccb7650fc55a0481ba83d86f6f8af_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

Soit Mathplace quicklatex.com-e75e72e04dde9605f731fffeed59752d_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

Soit Mathplace quicklatex.com-45054624b3a4cf65077d7cac940151bb_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

Mathplace quicklatex.com-5a47f96f45c957529a62c20f9956f276_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive est l’aire de la partie en clair.

Ici Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive est croissante sur Mathplace quicklatex.com-62cfa64446dad865a04a2f69ea27873a_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, donc pour tout Mathplace quicklatex.com-ba0d951070835af1f078d0abfa0c950a_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positiveMathplace quicklatex.com-bda70bdfdd84353d2e6562952ace5758_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

D’après la propriété sur les inégalités de la moyenne, en remplaçant m par Mathplace quicklatex.com-73381617885728060cb9ef28648a1b01_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive et M par Mathplace quicklatex.com-8a2e25bacb90f7fa4a86daeaf4d88eec_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, on a : Mathplace quicklatex.com-e56e94bec5a731578cc6eda980b52be2_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

Soit, Mathplace quicklatex.com-73b1934636a2ccc4c5c068c23be1feb7_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

Cas 2 : Mathplace quicklatex.com-b54aee2582ba15b70899dddfd3fdfffa_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

L’aire du domaine colorié en foncé est :  Mathplace quicklatex.com-0ef0262034fc61507436b416d7fcea12_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

L’aire du domaine formé par la réunion du domaine colorié en foncé et du domaine colorié en clair est : Mathplace quicklatex.com-cc5a2530ce87871c3ef477eb5e87aa0c_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

D’après la relation de Chasles :

Mathplace quicklatex.com-27ec4aa500fa106d11c1a17d27774c61_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

Soit Mathplace quicklatex.com-d50e2c1631f0035d90784b6d030fd15b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

Soit Mathplace quicklatex.com-6eacdd1ef8ab0b35be0206033de643be_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

Mathplace quicklatex.com-1bfc2cc7479bc9fb6e8c6d6c85a985dd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive est l’aire de la partie en clair.

Ici Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive est croissante sur Mathplace quicklatex.com-62cfa64446dad865a04a2f69ea27873a_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, donc pour tout Mathplace quicklatex.com-7ad35a07a27b09313497b36d3e2e2455_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positiveMathplace quicklatex.com-ec466459903ef39a3005ca20af7110f1_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

D’après la propriété sur les inégalités de la moyenne, en remplaçant m par Mathplace quicklatex.com-8a2e25bacb90f7fa4a86daeaf4d88eec_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive et M par Mathplace quicklatex.com-73381617885728060cb9ef28648a1b01_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, on a : Mathplace quicklatex.com-7689053fb088e7748d15e3b566228ddf_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

Soit, Mathplace quicklatex.com-9ee40032fd757ffb31a8e86906b6e813_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

Ainsi, le quotient Mathplace quicklatex.com-c4c8c74916e619f2158496d6a3525491_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive est encadré par Mathplace quicklatex.com-73381617885728060cb9ef28648a1b01_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive et Mathplace quicklatex.com-8a2e25bacb90f7fa4a86daeaf4d88eec_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive.

Or comme Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive est continue sur Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive, on a pour tout x de Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positiveMathplace quicklatex.com-df845f453de3dc77dee172c5abb655a7_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 

En conséquence, d’après le théorème des gendarmes : Mathplace quicklatex.com-ac86c03c29a66c12d77205e6aea8e874_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

Ce qui prouve bien que Mathplace quicklatex.com-80e0b2a0583851357ecaf3f410b1e082_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive est dérivable en Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive pour tout Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive de Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive et que Mathplace quicklatex.com-a362fdf8d7a383ff74a3479608b50856_l3 1. Intégrale d'une fonction continue et positive

 
 
 

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