Introduction des vecteurs
Définition :
Soit deux points 
et 
. On définit l’objet mathématique 
appelé vecteur.
Remarque :
La notation d’un vecteur utilise le point d’origine et le point à l’extrémité du vecteur, le tout surmonté d’une flèche. C’est le cas de « « .
Cependant on peut également utiliser une appellation différente sans prendre en compte les points d’origine et d’arrivée du vecteur mais juste y associer une autre lettre, tel que le vecteur 
pour désigner le vecteur .
Un vecteur est définit par trois composantes :
- Sa direction : celle de la droite qui porte le vecteur. Dans notre exemple il s’agit de la droite
. - Son sens : dépend de l’orientation de la flèche. Ici le sens est de vers .
- Sa longueur ou norme : la norme est la longueur du segment
noté 
.
Exemple :
Les vecteurs 
et 
ont même direction, même longueur mais des sens opposés.
Définition :
Un vecteur nul est un vecteur tel que sa norme est nulle. Son point d’origine est confondu avec le point d’arrivé. Ainsi quelque soit le point , on a 
.
Remarque :
Le vecteur nul n’a ni direction, ni sens.
Définition :
Soit le vecteur . On note 
le vecteur opposé et on a 
.
Remarque :
Un vecteur opposé du vecteur a même direction et même norme que le vecteur mais est de sens opposé.
Exemple :
Le vecteur 
est opposé au vecteur .
Définition :
La translation du vecteur est la transformation du plan qui à tout point 
du plan associe l’unique point 
tel que 
.
Propriété :
Soit le quadrilatère 
. Si 
est le symétrique de 
par la translation du vecteur 
alors est un parallélogramme.
Propriété (bis) :
Soit le quadrilatère . Si est égal à 
alors est un parallélogramme.
Somme de vecteurs
Définition de la relation de Chasles :
Soient trois points , et du plan, on a 
.
Remarque :
Attention ce n’est pas vraie pour les distances : 
.
Produit d’un vecteur par un nombre réel
Soit un vecteur et un réel 
.
On définit le vecteur 
tel que :
- et ont même direction.
- et ont le même sens si
ou des sens opposés si 
. - La norme de ,
vaut 
.
Propriétés :
Soit et 
des réels et et deux vecteurs.
On a les égalités suivantes :
Exemple :
