Sujet Progression:

A. Introduction

On sait depuis le collège qu’il est possible de construire de nouveaux ensembles de nombres à partir de l’ensemble des entiers naturels Mathplace quicklatex.com-5b51eb1ca8d5213870020e36b69cb035_l3 1. Ensemble des nombres complexes.

 

Ainsi :

L’équation Mathplace quicklatex.com-193703d7fec8cde9fbb1beed640d3523_l3 1. Ensemble des nombres complexes n’a pas de solution dans Mathplace quicklatex.com-5b51eb1ca8d5213870020e36b69cb035_l3 1. Ensemble des nombres complexes

mais dans l’ensemble des entiers relatifs Mathplace quicklatex.com-18f59f901851fb73dab17b3cf6db0f27_l3 1. Ensemble des nombres complexesMathplace quicklatex.com-0279101bbd414f76f880243a34164b12_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

L’équation Mathplace quicklatex.com-a6136c4b8b80242828a9d24e9e560378_l3 1. Ensemble des nombres complexes n’as pas de solution dans Mathplace quicklatex.com-18f59f901851fb73dab17b3cf6db0f27_l3 1. Ensemble des nombres complexes 

mais dans l’ensemble des rationnels Mathplace quicklatex.com-9ce2444ebad42acb682a6308db7b20b9_l3 1. Ensemble des nombres complexesMathplace quicklatex.com-4ea64638de7c9e105f8ef1e20a877c14_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

L’équation Mathplace quicklatex.com-ac74ddd023eb37a17da3323aa8b42ab2_l3 1. Ensemble des nombres complexes n’a pas de solution dans Mathplace quicklatex.com-9ce2444ebad42acb682a6308db7b20b9_l3 1. Ensemble des nombres complexes

mais, dans l’ensemble des réels Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 1. Ensemble des nombres complexesMathplace quicklatex.com-8d25975df7e7d875e8c5823027ab2fc7_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

L’équation Mathplace quicklatex.com-5dbd9fc8c105392e562486bca5d86343_l3 1. Ensemble des nombres complexes n’a pas de solution dans Mathplace quicklatex.com-6ded019057e0e1d2f3fdb43e9cba24ee_l3 1. Ensemble des nombres complexes, mais dans l’ensemble des nombres complexes Mathplace quicklatex.com-36c17fd7e76ecea85db34d5941fb4f6a_l3 1. Ensemble des nombres complexes, elle a deux solutions Mathplace quicklatex.com-8546d0435f9bc47e93db9a9471359da2_l3 1. Ensemble des nombres complexes et Mathplace quicklatex.com-842b248f3d898e781bb7837eb7f98f46_l3 1. Ensemble des nombres complexes.

 

 

B. Définition et notation

Définition

On nomme Mathplace quicklatex.com-36c17fd7e76ecea85db34d5941fb4f6a_l3 1. Ensemble des nombres complexes l’ensemble des nombres complexes défini par :

Mathplace quicklatex.com-46cbb448a1b411560938413afb586ee0_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

Exemple :

Mathplace quicklatex.com-18eb462825e9cc7b2b389fb2306123a8_l3 1. Ensemble des nombres complexes

Mathplace quicklatex.com-cc75b20edcc5ae5ddccae64b45387241_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

Définition :

L’écriture Mathplace quicklatex.com-5aedbbd3665e4c0006cfcffba636c978_l3 1. Ensemble des nombres complexes, Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 1. Ensemble des nombres complexes et Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 1. Ensemble des nombres complexes étant des réels, s’appelle la forme algébrique du nombre complexe Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 1. Ensemble des nombres complexes tel que Mathplace quicklatex.com-4c94d75f097ff78a7553f20e6fa38935_l3 1. Ensemble des nombres complexes

Le nombre réel Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 1. Ensemble des nombres complexes s’appelle partie réelle du nombre complexe Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 1. Ensemble des nombres complexes et on écrit Mathplace quicklatex.com-d851edfb9aca09121e420459168a444f_l3 1. Ensemble des nombres complexes

Le nombre réel Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 1. Ensemble des nombres complexes s’appelle partie imaginaire du nombre complexe Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 1. Ensemble des nombres complexes et on écrit Mathplace quicklatex.com-d21403252752e11e0b17e371ae29b0fc_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

Quand Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 1. Ensemble des nombres complexes est nul, le nombre complexe  Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 1. Ensemble des nombres complexes s’écrit Mathplace quicklatex.com-b6c5f5e3cd3d3012a6ed0f87a369a8c5_l3 1. Ensemble des nombres complexes et on dit que Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 1. Ensemble des nombres complexes est un imaginaire pur

Si Mathplace quicklatex.com-555ac74a699db9e44fb9954e08bd2442_l3 1. Ensemble des nombres complexes, alors Mathplace quicklatex.com-a993310bb84ffc6aaf6ed3a1667caf50_l3 1. Ensemble des nombres complexes donc Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 1. Ensemble des nombres complexes est un nombre réel

 

On note Mathplace quicklatex.com-7e6098c39eb206eb3da0a4f0c6372c64_l3 1. Ensemble des nombres complexes et on le nomme le nombre complexe conjugué de Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

Remarque :

  • Mathplace quicklatex.com-36c17fd7e76ecea85db34d5941fb4f6a_l3 1. Ensemble des nombres complexes contient tous les nombres réels donc Mathplace quicklatex.com-7a38bc82a08dcb9253fbaa7821975b70_l3 1. Ensemble des nombres complexes
  • Mathplace quicklatex.com-8546d0435f9bc47e93db9a9471359da2_l3 1. Ensemble des nombres complexes est un nombre et Mathplace quicklatex.com-ac2d9baee4bccdf32549d3a1e4e04562_l3 1. Ensemble des nombres complexes
  • Mathplace quicklatex.com-13b958b1db6028408d92b27dabde6f31_l3 1. Ensemble des nombres complexes est à la fois un nombre réel et un imaginaire pur
  • Si Mathplace quicklatex.com-de2fce2a28c17fb1c102193628a67b6e_l3 1. Ensemble des nombres complexes, alors Mathplace quicklatex.com-a7981dbcd73fc5389a4fa57f800ad857_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

Exemple :

Déterminer la partie réel, la partie imaginaire et le conjugué du nombre complexe Mathplace quicklatex.com-3012f48d712e99ed5a8021433b171756_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

Mathplace quicklatex.com-07919c5d145bb35d3b383739bb261718_l3 1. Ensemble des nombres complexesMathplace quicklatex.com-fab98b1385635a6b02aac01a8c0857e0_l3 1. Ensemble des nombres complexes et Mathplace quicklatex.com-4d926f987e3435028a966f65798040bc_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

 

Exemple :

Déterminer la partie réel, la partie imaginaire et le conjugué du nombre complexe Mathplace quicklatex.com-0e029f32b2411672ebef6f55d12badb8_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

Mathplace quicklatex.com-6fde26265f1793ca218ef21d6549ef7e_l3 1. Ensemble des nombres complexesMathplace quicklatex.com-6ec5e660b98777abadee26b4eacaad6c_l3 1. Ensemble des nombres complexes et Mathplace quicklatex.com-edc442f82279c1162e9fd77c9ac19300_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

 

Exemple :

Déterminer la partie réel, la partie imaginaire et le conjugué du nombre complexe Mathplace quicklatex.com-9c90534f803f204773e6a16e8be9402b_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

Mathplace quicklatex.com-a6c222e24c9c117c845abf70decea56e_l3 1. Ensemble des nombres complexesMathplace quicklatex.com-ed06cdb60b5d9b138ab4f43a2b39db8c_l3 1. Ensemble des nombres complexes et Mathplace quicklatex.com-8121457b9e7b34f33804346a89e6f587_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

 

C. Opérations sur les nombres complexes

Propriété :

Pour tous nombres complexes  Mathplace quicklatex.com-4c94d75f097ff78a7553f20e6fa38935_l3 1. Ensemble des nombres complexes et  Mathplace quicklatex.com-e56cadf184cabf6b044bb2610313ae81_l3 1. Ensemble des nombres complexes, Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 1. Ensemble des nombres complexes, Mathplace quicklatex.com-c7328f846d793fdd97d12ad66a3ebf64_l3 1. Ensemble des nombres complexesMathplace quicklatex.com-d5e7f3345ebfb9206b1510d1c4442afe_l3 1. Ensemble des nombres complexes et Mathplace quicklatex.com-a1c2646204d571dc6ce4430ee97a2628_l3 1. Ensemble des nombres complexes étant des réels, on a :

 Mathplace quicklatex.com-08a6507b7985bd157e62418d8dae2ed3_l3 1. Ensemble des nombres complexes

Mathplace quicklatex.com-6f8e8926c62bcd962f524be6e1d71486_l3 1. Ensemble des nombres complexes

Mathplace quicklatex.com-5af337c2af3099b5d92835a3ca739027_l3 1. Ensemble des nombres complexes pour tout réel Mathplace quicklatex.com-5e2d10ed2cfea6b7ca90cc035d64360c_l3 1. Ensemble des nombres complexes

Mathplace quicklatex.com-77a259893696d3252672d43e4e9f2cb7_l3 1. Ensemble des nombres complexes si Mathplace quicklatex.com-d59c89d9933247bdaa9f8d2aceb33274_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

 

Exemple :

Calculer Mathplace quicklatex.com-e378f543b6f08dbe9d85b24179baf919_l3 1. Ensemble des nombres complexesMathplace quicklatex.com-a6f558c09856db73533c979c885ee936_l3 1. Ensemble des nombres complexes,Mathplace quicklatex.com-89debfa146b7e99924167759249f0ada_l3 1. Ensemble des nombres complexes et Mathplace quicklatex.com-a4a53bc31feb5f35c588c71afde881a5_l3 1. Ensemble des nombres complexes pour Mathplace quicklatex.com-d8e6e79e1f9938624d02db7cf85beb4a_l3 1. Ensemble des nombres complexes et Mathplace quicklatex.com-782ea82ac4a4b519ef142f34e1e216bf_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

Mathplace quicklatex.com-f1fa79c43974f7a232b27ba696f9eef9_l3 1. Ensemble des nombres complexes

Mathplace quicklatex.com-c12167738178eb5d9ba7610df556cc66_l3 1. Ensemble des nombres complexes

Mathplace quicklatex.com-a127015a31bcd3706a37465f99da4b38_l3 1. Ensemble des nombres complexes

Mathplace quicklatex.com-35cb380461f52918937a961e8be0e4c7_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

Conséquence :

Tout nombre complexe non nul admet un inverse

Pour tous nombres complexes Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 1. Ensemble des nombres complexes et Mathplace quicklatex.com-9d646e42df3e3dff2238db96469e4e85_l3 1. Ensemble des nombres complexes, on a Mathplace quicklatex.com-a181babd1924bbe0d0c9268a21325617_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

 

Exemple :

Déterminer la forme algébrique de l’inverse Mathplace quicklatex.com-8f60b1bdf44edc425696e7ad429983a8_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

 

D. Propriétés

Propriété

Soit Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 1. Ensemble des nombres complexes un nombre complexe, Mathplace quicklatex.com-43ed91e894e3cbb3b4a09bdd9ddb0094_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

Propriété

Soit Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 1. Ensemble des nombres complexes, Mathplace quicklatex.com-9d646e42df3e3dff2238db96469e4e85_l3 1. Ensemble des nombres complexes deux nombres complexes,

Mathplace quicklatex.com-11ecb823aef625b5cd3eadc8d6b4174d_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

Propriété

Pour tout nombre complexe Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 1. Ensemble des nombres complexes, Mathplace quicklatex.com-9d646e42df3e3dff2238db96469e4e85_l3 1. Ensemble des nombres complexes tel que Mathplace quicklatex.com-4c94d75f097ff78a7553f20e6fa38935_l3 1. Ensemble des nombres complexes :

  • Mathplace quicklatex.com-21cd0e9c25b57f34a887208d9bff2668_l3 1. Ensemble des nombres complexes
  • Pour tout réel Mathplace quicklatex.com-42421223af7c58fb1e03b6ed869a4ef7_l3 1. Ensemble des nombres complexesMathplace quicklatex.com-a421d5563603126992ac29a938b3fb38_l3 1. Ensemble des nombres complexes et pour tout imaginaire pur Mathplace quicklatex.com-5cb7d6abe30915ee56d15100cdac6869_l3 1. Ensemble des nombres complexesMathplace quicklatex.com-db2b1d940759a04915878a63b1e14a21_l3 1. Ensemble des nombres complexes
  • Mathplace quicklatex.com-5272ebad1820395361f7aac33d7e6b98_l3 1. Ensemble des nombres complexes, et donc Mathplace quicklatex.com-5200638bb73a4f4be4d1944adf135139_l3 1. Ensemble des nombres complexes est réel
  • Mathplace quicklatex.com-2a0dcfc8def55f62ad4594529baaae26_l3 1. Ensemble des nombres complexesMathplace quicklatex.com-1b9c5f6bc05acd0d63e6492f8ddecfce_l3 1. Ensemble des nombres complexes
  • Mathplace quicklatex.com-72064d0f1cb60c89bace0d3725ef2b10_l3 1. Ensemble des nombres complexesMathplace quicklatex.com-516b72b62b552230e12bf512146df9c1_l3 1. Ensemble des nombres complexes
  • Mathplace quicklatex.com-c603de74e0065515067b481e2a0ecc25_l3 1. Ensemble des nombres complexes
  • Mathplace quicklatex.com-c603de74e0065515067b481e2a0ecc25_l3 1. Ensemble des nombres complexes
  • Pour tout Mathplace quicklatex.com-d59c89d9933247bdaa9f8d2aceb33274_l3 1. Ensemble des nombres complexesMathplace quicklatex.com-bb191d4099e07779dc2dd3e88b9f44a5_l3 1. Ensemble des nombres complexes et Mathplace quicklatex.com-23caf2482c669f2fce816ac274a780fe_l3 1. Ensemble des nombres complexes
  • Pour tout entier Mathplace quicklatex.com-9d89127d8b0b31c233d94a882f8841e5_l3 1. Ensemble des nombres complexesMathplace quicklatex.com-a7ae1de0b90676f2efd50d92e29f5602_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

Exemple :

Sans chercher la forme algébrique, donner les conjugués de Mathplace quicklatex.com-dbdb2c4da97793a10b4bd5f7b204bc64_l3 1. Ensemble des nombres complexes et de Mathplace quicklatex.com-9d646e42df3e3dff2238db96469e4e85_l3 1. Ensemble des nombres complexes avec :

Mathplace quicklatex.com-f58ccdb1d8f098150b2ec59c33d66d70_l3 1. Ensemble des nombres complexes et Mathplace quicklatex.com-35aaf4cc27fa4e5ed0bd22948ab48246_l3 1. Ensemble des nombres complexes

 

 
 

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