A. Introduction
On sait depuis le collège qu’il est possible de construire de nouveaux ensembles de nombres à partir de l’ensemble des entiers naturels 
.
Ainsi :
L’équation 
n’a pas de solution dans
mais dans l’ensemble des entiers relatifs 
, 
L’équation 
n’as pas de solution dans
mais dans l’ensemble des rationnels 
, 
L’équation 
n’a pas de solution dans
mais, dans l’ensemble des réels 
, 
L’équation 
n’a pas de solution dans , mais dans l’ensemble des nombres complexes 
, elle a deux solutions 
et 
.
B. Définition et notation
Définition
On nomme l’ensemble des nombres complexes défini par :
Exemple :
Définition :
L’écriture 
, 
et 
étant des réels, s’appelle la forme algébrique du nombre complexe 
tel que 
Le nombre réel s’appelle partie réelle du nombre complexe et on écrit 
Le nombre réel s’appelle partie imaginaire du nombre complexe et on écrit 
Quand est nul, le nombre complexe s’écrit 
et on dit que est un imaginaire pur
Si 
, alors 
donc est un nombre réel
On note 
et on le nomme le nombre complexe conjugué de
Remarque :
- contient tous les nombres réels donc
- est un nombre et
est à la fois un nombre réel et un imaginaire pur- Si
, alors 
Exemple :
Déterminer la partie réel, la partie imaginaire et le conjugué du nombre complexe 
, 
et 
Exemple :
Déterminer la partie réel, la partie imaginaire et le conjugué du nombre complexe 
, 
et 
Exemple :
Déterminer la partie réel, la partie imaginaire et le conjugué du nombre complexe 
, 
et 
C. Opérations sur les nombres complexes
Propriété :
Pour tous nombres complexes et 
, , , 
et 
étant des réels, on a :
pour tout réel 
si 
Exemple :
Calculer 
, 
,
et 
pour 
et 
Conséquence :
Tout nombre complexe non nul admet un inverse
Pour tous nombres complexes et 
, on a 
Exemple :
Déterminer la forme algébrique de l’inverse 
D. Propriétés
Propriété
Soit un nombre complexe, 
Propriété
Soit , deux nombres complexes,
Propriété
Pour tout nombre complexe , tel que :
- Pour tout réel
, 
et pour tout imaginaire pur 
, 
, et donc 
est réel
, 
, 
- Pour tout ,
et 
- Pour tout entier
, 
Exemple :
Sans chercher la forme algébrique, donner les conjugués de et de avec :
et 
