1. Définition et propriétés algébriques

Définition :

Pour  ,  est l’unique nombre dont l’exponentielle vaut x : 

Définition :

La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est donc définie sur  et à tout elle lui associe le nombre réel noté tel que :

Par conséquent, on obtient la courbe de la fonction logarithme par symétrie de la courbe de la fonction exponentielle, par rapport à la droite d’équation 

Propriétés :

• La fonction logarithme est définie sur 
• Pour tout réel ,  et 
• Pour tout réel , et : 
• et 

Propriétés :

Soient , deux réels strictement positifs :

• 
• 
• 
• pour tout réel 
• 

Démonstrations :

• :

Pour démontrer cette égalité, il faut se rappeler que pour tous réels , on a :

Or, 

et on a également l’égalité 

On obtient :

• :

Pour tout réel , 

Donc, 

Pour tout réel , ,

Donc, 

Pour tout réel , 

Donc, 

Soit

Donc,