Les Fractions

 

Le terme fraction est apparu à la fin du XIIe siècle, par dérivé du latin fractio – « action de briser » – utilisé dans la terminologie mathématique médiévale pour désigner la « division ». C’est un terme qui provient lui-même du latin classique frangere qui veut dire « briser ».

Une fraction est un nombre de parts considérés après la division d’un nombre entier en plusieurs parties égales.

A titre d’exemple, la fraction  $\dfrac{32}{4}$ désigne le quotient de $32$ par $4$.

Les nombres que l’on peut représenter par des fractions de nombres entiers sont appelés nombres rationnels.

L’ensemble des rationnels est noté $ℚ$.

 

Table de matières :

I. Définition

II. Représenter une fraction

III. Egalité de deux fractions

IV. Comparer deux fractions

V. Opérations sur les fractions

VI. Divisibilité et nombres premiers

 

 

I. Définition

Une fraction est un nombre. Ce nombre est un quotient, c’est-à-dire le résultat d’une division.

 

1.1 Vocabulaire

Une fraction s’écrit par une barre horizontale et deux entiers :

  • Le premier entier au-dessus de la barre s’appelle le « numérateur ».
  • Le second entier au-dessous de la barre s’appelle le « dénominateur ».

 

Exemple :

$\dfrac{15}{8}$ est une fraction

 

Ici, dans cet exemple :

  • $15$ est le numérateur
  • et $8$ le dénominateur.

Et on peut lire : « fraction quinze sur huit » ou « quinze huitième ».

On peut également dire que c’est « le quotient de 15 par 8 »

 

1.2 Ecriture fractionnaire

Un quotient est le résultat d’une division.

Le quotient d’un nombre $a$ par un nombre $b$ (non nul) peut s’écrire : $a \div b$ ou $\dfrac { a }{ b }$

  • Dans l’écriture $a \div b$ : $a$ est le dividende et $b$ est le diviseur
  • Dans l’écriture $\dfrac { a }{ b }$ : $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur

Dans l’écriture $\dfrac { a }{ b }$, si $a$ et $b$ sont des nombres entiers, le nombre $\dfrac { a }{ b }$ s’appelle une fraction.

 

Exemples :

$\dfrac { 3 }{ 4 }$ est une fraction

$\dfrac { 1{,}5 }{ 4 }$ et $\dfrac { 3{,}1 }{ 6{,}5 }$ sont des nombres en écriture fractionnaire.

 

1.3 Ecriture décimale

 

Exemple :

$\dfrac { 1{,}6 }{ 4 } = 1{,}6 \div 4 = 0{,}4$

$0{,}4$ est l’écriture décimale de $\dfrac { 1{,}6 }{ 4 }$

 

Exemple :

$\dfrac { 9{,}5 }{ 0{,}5 } = 9{,}5 \div 0{,}5 = 19$

$19$ est l’écriture décimale de $\dfrac{ 9{,}5 }{ 0{,}5}$

On dit « écriture décimale » même si c’est un nombre entier. Un nombre entier est aussi un nombre décimal : $19 = 19{,}0$

 

Cependant, dans certains cas, les fractions n’ont pas d’écriture décimale.

 

Exemple : 

Ecriture décimale de $\dfrac { 10 }{ 3 }$

 

$\dfrac { 10 }{ 3 } = 10 \div 3 ≈ 3,3333 \cdots$

Cette division ne se termine jamais, il y a un nombre infini de ‘3’ après la virgule.

La fraction $\dfrac { 10 }{ 3 }$ n’a pas d’écriture décimale. On ne peut donc pas dans ce cas donner d’écriture décimale.

 

Quelques exemples de fractions courantes :

 

Fraction Lecture Ecriture décimale
$\dfrac{1}{2}$ un demi $0{,}5$
$\dfrac{2}{3}$ deux tiers valeur arrondie au centième : $0{,}67$
$\dfrac{3}{4}$ trois quarts $0{,}75$
$\dfrac{1}{5}$ un cinquième $0{,}2$

 

 

II. Représenter une fraction

Une fraction permet d’évaluer une quantité par rapport à une autre.

 

Exemple :

La partie coloriée en bleu représente les trois neuvième du grand cube. En effet, chaque petit cube représente un neuvième du grand cube.

 

Prendre une fraction d’une quantité

Prendre la fraction d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par la fraction.

 

Exemple :

Calculer les deux tiers de $60$.

 

Calculer les deux tiers $\dfrac{ 2}{ 3 }$ de $60$, c’est effectuer la multiplication suivante :

$\dfrac { 2 }{ 6 } \times 60=(60 \div 3) \times 2 = 20 \times 2 = 40 $

 

 

III. Egalité de deux fractions

Deux fractions sont égales quand on multiplie ou quand on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

$a$, $b$ et $k$ sont trois nombres avec  $b\neq 0$ et $k\neq 0$, $\dfrac { a }{ b }=\dfrac { a \times k }{ b \times k } $ et $\dfrac { a }{ b }=\dfrac { a \div k }{ b \div k } $

Pour simplifier les fractions, on utilise les tables de multiplications ou les critères de divisibilité.

 

Exemple :

Simplifier la fraction $\dfrac { 45 }{ 20 }$

 
$45$ et $20$ sont des multiples de $5$.

On peut donc diviser le numérateur et le dénominateur par $5$.

$\dfrac { 45 }{ 20 }=\dfrac { 45 \div 5 }{ 20 \div 5 } = \dfrac { 45 }{ 4 }$

On dit qu’on a simplifié la fraction par $5$.

On peut aussi écrire de la façon suivante :

$\dfrac { 45 }{ 20 }=\dfrac { 9 \times 5 }{ 4 \times 5 } = \dfrac { 9 }{ 4 }$

Les fractions $\dfrac { 45 }{ 20 }$ et $\dfrac { 9 }{ 4 }$ sont égales.

 

IV. Comparer deux fractions

4.1 Fractions de même dénominateur

Si 2 fractions ont le même dénominateur, alors elles sont rangées dans le même ordre que leurs numérateurs.

 

Exemple :

Comparer $\dfrac { 2 }{ 5 }$ et $\dfrac { 4 }{ 5 }$.

$\dfrac { 2 }{ 5 }$ < $\dfrac { 4 }{ 5 }$ car $2 < 4$

 

4.2 Fractions de même numérateur

Si 2 fractions ont le même numérateur, alors elles sont rangées dans l’ordre inverse de leurs dénominateurs.

 

Exemple :

Comparer $\dfrac { 5 }{ 2 }$ et $\dfrac { 5 }{ 4 }$.

$\dfrac { 5 }{ 2 }$ > $\dfrac { 5}{ 4 }$ car $2 < 4$

 

4.3 Si un dénominateur est multiple de l’autre

 

Exemple :

Comparer $\dfrac { 5 }{ 6 }$ et $\dfrac { 11 }{ 18 }$.

Dans ce cas, $6$ est un multiple de $18$.

 

$\dfrac { 5 }{ 6 } = \dfrac { 5 \times 3 }{ 6 \times 3 } = \dfrac { 15 }{ 18 }$

$\dfrac { 15 }{ 18 }$ > $\dfrac { 11 }{ 18 }$.

On a donc $\dfrac { 5 }{ 6 } > \dfrac { 11 }{ 18 }$

 

4.4 Si les dénominateurs ont un multiple commun facile à calculer :

 

Exemple :

Comparer $\dfrac { 5 }{ 6 }$ et $\dfrac { 11 }{ 15 }$.

$6 \times 5 = 30$ et $15 \times 2 = 30$

Ensuite, on réduit au même dénominateur :

$\dfrac { 5 }{ 6 } = \dfrac { 5 \times 5 }{ 6 \times 5 } = \dfrac { 25 }{ 30 }$

$\dfrac { 11 }{ 15 } = \dfrac { 11 \times 2 }{ 15 \times 2 } = \dfrac { 22 }{ 30 }$

$\dfrac { 25 }{ 30 }$ > $\dfrac { 22 }{ 30 }$.

On a donc $\dfrac { 5 }{ 6 } > \dfrac { 11 }{ 15 }$

 

 

V. Opérations sur les fractions

5.1 Addition de fractions et Soustraction de fractions

Pour calculer la somme ou la différence de deux nombres en écriture fractionnaire,

  • on commence par les écrire avec le même dénominateur,
  • on garde le dénominateur commun,
  • on additionne ou on soustrait les numérateurs

 

Cas 1 : Les nombres ont le même dénominateur

On garde le dénominateur commun

On additionne ou on soustrait les numérateurs

 

Exemple :

$ A = \dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{5} $

$ A = \dfrac{3+6}{5} $

$ A = \dfrac{9}{5} $

 

Cas 2 : Les nombres n’ont pas le même dénominateur

On les réduit au même dénominateur c’est à dire qu’on les écrit avec le même dénominateur

 

Exemple :

$ B = \dfrac{3}{5} + \dfrac{7}{4} $

$ B = \dfrac{3 \times 4}{5 \times 4} + \dfrac{7 \times 5}{4 \times 5} $

$ B = \dfrac{12}{20} + \dfrac{35}{20} $

$ B = \dfrac{47}{20} $

 

5.2 Multiplication de fractions

Pour calculer le produit de deux quotients, on multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux, sans oublier la règle des signes.

Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres (avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$), alors :

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d} = \dfrac{ac}{bd}$

 

Pour mutiplier deux quotients :

  • On détermine le signe du résultat en comptant le nombre de signes – ,
  • On décompose les nombres en produits de facteurs,
  • On simplifie avant de multiplier,
  • On termine le calcul.

 

Exemple :

$A=\dfrac{12}{7} \times \dfrac{4}{15}$

$A=\dfrac{12 \times 4}{7 \times 15} $

$A=\dfrac{3 \times 4 \times 4}{7 \times 3 \times 5} $

$A=\dfrac{16}{35}$

 

5.3 Division de fractions

Pour diviser un nombre relatif différent de $0$ revient à multiplier par son inverse.

Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres (avec $b \neq 0$, $c \neq 0$et $d \neq 0$), alors :

$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}$

 

Exemple :

$C=\dfrac{5}{3} \times \dfrac{7}{2}$

$C=\dfrac{5}{3} \times \dfrac{2}{7} $

$C=\dfrac{5 \times 2}{3 \times 7} $

$C=\dfrac{10}{21}$

 

5.4 Inverse d’un nombre

L’inverse d’un nombre non nul $a$ est le nombre qui, multiplié par $a$, donne $1$.

 

Exemple :

$ 4 \times 0,25 = 1 $, donc l’inverse de $4$ est $0,25$, et inversément.

$ -10 \times (-0,1) = 1 $, donc l’inverse de $-10$ est $-0,1$, et inversément.

 

Propriété : L’inverse d’un nombre $x$ non nul est le nomdre $\dfrac{1}{x}$

 

Exemple :

L’inverse de $5$ est $\dfrac{1}{5}$

$ 5 \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{5} = 1$

 

Propriété : $a$ et $b$ désigne deux nombres non nuls. L’inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$

 

Exemple :

L’inverse de $-\dfrac{2}{3}$ est $-\dfrac{3}{2}$

$-\dfrac{2}{3} \times -\dfrac{3}{2} = \dfrac{(-2) \times (-3)}{3 \times 2}$ = 1$

 

VI. Divisibilité et nombres premiers

6.1 Notions de diviseur et de multiple d’un entier

$a$ et $b$ désignant deux entiers,

« $b$ est un diviseur de $a$ » signifie qu’ « il existe un entier $c$ tel que : $a = b \times c$ »

 

Exemple :

$72 = 8 \times 9$,

donc $8$ est un diviseur de $56$ ($9$ est également un diviseur de $56$).

On dit aussi que $72$ est divisible par $8$ (et que $72$ est divisible par $9$).

On dit aussi que $72$ est un multiple de 8 (et que $72$ est un multiple de $9$).

 

6.2 Nombres premiers

Un nombre est un nombre premier quand il n’a pour diviseurs que $1$ et lui-même.

 

Exemples : 

$11$, $19$ sont des nombres premiers

 

  • $1$ n’est pas premier car il ne possède qu’un diviseur : lui-même.
  • $4$ n’est pas premier car il a $2$ pour diviseur

 

Propriété : Deux entiers sont premiers entre eux quand ils ont pour seul diviseur commun $1$.

 

Exemple :

$8$ et $15$ sont des nombres premiers entre eux.

 

Attention : Il ne faut pas confondre la notion de nombres premiers entre eux et la notion de nombres premiers.

 

Exemple :

$8$ et $21$ sont premiers entre eux, mais ils ne sont pas premiers

 

6.3 Décomposer un nombre en produit de facteur premier

Exemple :

Décomposer l’entier suivant en produit de nombres premiers : $156$

$156 = 2 \times 78 = 2 \times 2 \times 39 = 2 \times 2 \times 3 \times 13$

 

6.4 Fractions irréductibles

Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

 

Exemple :

La fraction \( \dfrac{16}{35} \) est-elle irréductible ?

$16 = 2 \times 8 = 2 \times 2 \times 2 \times 2$

$35 = 5 \times 7$

$16$ et $35$ sont bien premiers entre eux car ils ont pour seul diviseur commun $1$

La fraction \( \dfrac{16}{35} \) est donc bien irréductible.

 

Pour retrouver toutes les notions abordées dans cette page, je vous invite à consulter les différents cours détaillés sur les fractions, en fonction de votre classe. Vous y trouverez également des exercices sur les fractions pour s’entraîner.

 

Fractions 6ème Découvrir les nombres rationnels 5ème Fraction et nombres rationnels 4ème Divisibilité, nombres premiers 3ème

 

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