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II. Division euclidienne

Définition

Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier, c’est trouver deux nombres entiers :

  • le quotient et
  • le reste.

 

Ecriture en ligne

 

dividende = ( diviseur × quotient) + reste

 

La division euclidienne d’un nombre entier $a$ par un nombre entier $b$ s’écrit :

$ \color{red}{a = (b \times q) + r }$    avec   $\color{red}{r<b}$

$a$ : dividende

$b$ : diviseur

$q$ : quotient

$r$ : reste

 

Exemple :

L’écriture en ligne de la division de 117 par 5 est : $117 = (5 \times 23)$

 

Propriété

Dans une division euclidienne, le reste est toujours inférieur au diviseur.

Exemple de division fausse (erreur à ne pas faire) :

 

//image

 

Le reste est supérieur au diviseur. La division est fausse.

Au lieu de $3$ au quotient, il fallait écrire $4$ :

 

// image

 

Exemples d’exercices

1/ L’égalité suivante est juste : $137 = (15 \times 8) +17 $. Correspond-elle à une division euclidienne ?

Le reste est $17$.

On peut choisir pour diviseur $15$ ou $8$.

Dans les deux cas, le reste est supérieur au diviseur.

Cette égalité ne représente :

  • ni la division euclidienne de $137$ par $15$,
  • ni celle de $137$ par $8$.

 

2/ Vérifier l’égalité suivante : $71 =(7 \times 9) +8 $. Correspond-elle à une division euclidienne ? Si oui, laquelle ?

$(7 \times 9) +8 = 63 + 8 = 71$

L’égalité est juste.

On peut choisir 7 ou 9 pour diviseur.

Comme le reste est $8$ et on a : reste < diviseur, donc reste < 9

Cette égalité représente donc la division euclidienne de 71 par 9.

 


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